编者的话

《高中物理学习词典》是紧扣高中物理教学大纲规定的内容和要求编写的。共收录词目 500 条，释文力求简明扼要，重点突出，以利高中生理解物理知识，掌握科学方法和技能，提高运用物理知识分析问题和解决问题的能力。

本词典由北京师范大学中学教学研究中心主任阎金铎教授任主编， 以特级教师和高级教师王杏村、梁敬纯、周誉蔼、胡祖康为核心，并聘请一批有教学经验的专家、教师魏义钧、梁增玉、阴家麟、杨进蔚、李世国、李锦萍等撰稿。根据编者多年的教学经验，对学生在学习中容易出现的疑点及易犯的错误，在相应的释文中都有明确的解释。具体来说，

①对基本概念、基本规律和基本方法都专列词条进行详尽解释，并举例说明之；②能联系实际的条目，都举了生产、生活中的实例，既巩固了基础知识，又阔宽了学生的眼界；③本词典讲究实效，立足于帮助学生提高思维能力及解决实际问题的能力。我们期望本词典对高中学生学习物理有所帮助，并衷心地希望广大师生对本书提出修改建议，以期日臻完善。

编者

1993 年 9 月

前 言

为了配合我国的基础教育和九年制义务教育的推广普及工作，帮助中小学生更好地学习和掌握教学大纲规定的教学内容，给学生平时学习、做作业、复习和考试提供一套高质量有特色、方便实用并相对稳定的工具书，以利于全面提高学生的素质，我们在广泛调查，并征询教委领导部门意见的基础上，编写了《九年制义务教育暨高中学生系列学习词典》。本书按科设卷，其中小学四卷：语文、数学、自然常识、思想品德；初中、高中各九卷：语文、英语、政治、历史、数学、物理、化学、生物、地理，全书共计 22 卷，二万多个词条，七百万字。作为专门为学生而编写的与教学大纲、教材相配套的多卷系列学习词典，这在我国基础教育史上还是首创。本书是专为中小学生而编，处处考虑学生的实际需要。因此框架编排，收词范围紧扣国家教委颁布的新教学大纲， 参照使用面广的各种版本教材。小学、初中各卷的编写侧重知识技能， 注意全面提高学生的素质。条目的筛选不仅覆盖了教学大纲规定的全部知识，而且根据大纲的新精神，增加一定量的学习方法、学习新思路， 以及联系社会生活、生产实际方面的词条。高中各卷还兼顾了高考的需要，收录了总复习、高考指导等方面的内容；释文

尽量做到科学性、启发性和实用性的统一。内容的纵深介绍针对小学、初中、高中学生的不同接受能力和学习特点，力求做到递次解析， 深入浅出，重点知识还论及了其发展过程，以利于学生的理解和运用； 适度采用了部分有科学根据的新观点、新资料；文字表述力求简洁、鲜明、准确、生动；为便于学生按教学进度进行学习和查阅，目录按知识块分类设计，并比照大纲和教材的顺序，书后附有汉语拼音索引。

本书由全国人大常委、北京师范大学副校长许嘉璐任主编，各分卷主编大多为国家教委教材审查委员、专家学者。撰稿人都是学术上有造诣，对中学教学有研究的北京师范大学、北京教育学院、北京市教育局系统、北京海淀教师进修学院、北京市重点中小学以及其它部分省市的教授、副教授、高级教师、讲师、基础教育专家，共计 100 余人。几经运筹，勤奋笔耕，历一年半而成。我们衷心希望全国的中小学生以及老师和家长喜欢此工具书，诚恳希望读者在使用过程中给我们提出宝贵意见，以便通过不断修订再版，使之日臻完美，成为中小学生的良师益友。

总编委会

1993 年 9 月于北京

一、力学

机械运动机械运动是指物体与物体之间或物体各部分之间相对位置发生改变的过程，也可以说是物体在空间位置随时间作连续变化的过程。例如天体的运动、车船的运动、机器的转运、大气和河水的流动等等都是机械运动。机械运动是物质多种多样的运动形式中最简单而又最基本的一种。力学就是研究机械运动所遵循的客观规律的一门学科。

平动和转动是最简单的机械运动。物体的复杂运动一般都可以看成这两种运动的合成的结果。因此，平动和转动是物体的最基本的运动。对于机械运动，我们可以从不同的角度来研究。如果只研究物体做

机械运动的过程中位置随时间的变化关系，不涉及引起运动状态变化的原因，即只解决如何描述运动的问题，这是属于力学中运动学的内容。如果我们要进一步研究运动状态变化的原因，研究物体的运动与物体间相互作用之间的内在规律，这是属于力学中动力学的内容。在中学物理学习中，只有把动力学和运动学结合起来，才能很好地解决力学问题。参照物（系） 为了确定物体的位置和描述其运动而选作标准的那

个物体或物体系。

物体的位置只能相对于参照物来确定，同样，物体的速度和加速度也只能相对于参照物来确定，也就是说，将参照物当作静止的，来研究物体相对于参照物的运动。长期生活在地球上的人，自觉不自觉地把地球当作物体是否运动的参照物，久而久之，便形成了研究运动可以脱离参照物的错误观念，因此，认识参照物的意义和作用，对于正确理解物理概念和应用物理规律都是十分必要的。同一物体的运动情况，也就是说它的位移、速度和加速度等，从不同的参照物来看是不同的，例如， 坐在教室里的人，以地球为参照物时，他的运动速度为零，处于静止状态；若以太阳为参照物时，则人随着地球围绕太阳运动，其速度约为 304 米/秒。绝对静止是没有的，宇宙间的一切物体都在运动，所以说运动是绝对的，静止是相对的。但是运动又只能相对参照物来描述，没有参照物就谈不上运动的描述。从这个意义上说运动也具有相对性。在运动学里，为了描述物体的运动，而不涉及到物体运动的原因，原则上可以选用任何物体作为参照物，但适当选择参照物，对研究运动的方便与否却有很大关系。值得注意的是：许多物理规律的成立条件都与参照物有关。例如，牛顿第一定律和第二定律、动量定理、动量守恒定律和动能定理等成立条件必须是对惯性参照物。所谓惯性参照物是指对牛顿第一定律成立的参照物。相对惯性参照物作匀速直线运动或静止的参照物也是惯性参照物。相对惯性参照物作加速运动的参照物叫做非惯性参照物。太阳是一个相当精确的惯性参照物，地球绕太阳运动是有加速度的，所以严格地说地球不是一个惯性参照物，但由于地球的加速度很小，在一般精度范围内，地球仍不失为一个相当好的惯性参照物。在研究地面上物体的运动时，除了专门研究地球自转所引起的力学现象外，一般都取地面作为惯性参照物。不少同学由于不注意参照物的正确选择，在解题时常常出现差错，比如把动量守恒定律应用到只有互相作用的物体系时， 不仅应以惯性系为参照物，而且，物体系内各个物体还必须取同一个惯性参照物，例如，一质量 M=100 千克的船，停在静水中，船长 l＝3 米，

一个质量是 m=50 千克的人站在船头，当人匀速地从船头走到船尾时，船后退的距离 x 为多少米？（不计水的阻力）常有

人错误地以船为参照物，得出人的速度v = 3 ，而以地为参照物，得出

t

船的速度为v x

mv＇＋mv = 0求得x = 1.5米，

＇＝ t ，然后由动量守恒定律

这里错误的原因，就是人和船不是同一个惯性参照物，若人和船都以地面

为参照物，就会得出船后退的距离为x = ml

M + m

= 1.0米的正确答案。

对于运动学问题，选择参照物是可以任意的，如果选择适当，就可以起到化繁为简的效果。例如，A、B 两杆的长度相等，开始时 A 竖直悬在高空，B 杆竖直在地面，若在 A 杆自由下落的同时，使 B 杆以 v0 的初速竖直上抛，在运动过程中，两杆始终竖直，并且从相遇到离开刚好用了时间 t，若不计空气阻力，求杆的长度 L。解答这个问题，若以地球为参照物，A 杆向下作加速运动，B 杆向上作减速运动，即时速度时刻在改变。A 杆的悬点高度没有给定，解答起来相当麻烦，若以 A 为参照物，则B 杆的速度为 v0，相对加速度为零，这样把两个变速运动转化为一个速度为 v0 的匀速直线运动，两个等长的杆从相遇到分离，即走了两个杆长， 用时

间为t，所以每个杆长为L = vo t 。

2

坐标系 要精确地研究运动，就需要对运动有定量的描述，因此， 为了在数量上表示一个物体相对于参照系的位置，我们以参照物为标准点（称为坐标原点），选定一组有一定次序的数（称为坐标），组成一个系统，称做坐标系。通常的坐标系有直线坐标系（一维）；平面直角坐标系（二维）；空间直角坐标系（三维）；极坐标系等等。如在研究竖直上抛运动的速度和时间的关系时，可选取平面直角坐标系，其中的一个坐标轴为速度（v）轴，表示速度矢量的大小和方向；另一跟速度垂直的轴为时间（t）轴，如图所示。O 点表示研究运动的起点。在运动学中，通常以物体的初速度为正方向建立坐标系；当初速为零时，则以运动方向为正方向建立坐标系；在动力学中，常以加速度方向为正方向建立坐标。例如，在研究质点做习速圆周运动时，由于质点的加速度指向圆心，一般选取自然坐标系，即取指向圆心与加速度同向的法向坐标轴和取沿切线方向的切向坐标轴，组成的平面直角坐标系；在简谐振动中， 习惯把坐标原点设在平衡位置上，沿振动方向选取一维直线坐标轴；在静力学中，建立直角坐标系时，坐标轴的取向，一般以少分解未知量为宜。

矢量与标量 一个物理量既要由大小，又要由方向才能完全确定，

并且遵从平行四边形运算法则，这样的物理量称为矢量。

两个矢量（a 和 b）之和，是以这两个矢量为邻边组成的平行四边形， 其夹角的对角线。

矢量减法是矢量加法的逆运算，一个矢量减去另一个矢量，相当于加上那个矢量的负矢量。即 a-b＝a+（-b）。所以两个矢量（a 和 b）之差为平行四边形的另一条对角线。

由矢量三角形，可以看到，二矢量之差的方向是指向被减矢量的。在矢量运算中，有时为了简便，可建立直角坐标系，然后将各个矢

量分解到各坐标轴上，这样就可以把矢量运算，变为代数运算。

标量 有些物理量，只由数值大小决定，不具有方向性，这样的物理量称为标量，标量的运算遵循一般的代数法则。如正负温度，正负重力势能；正负功；正负电荷等，它们都可以进行代数运算。但是要分清标量的正负号在不同情况下表示的意义是不同的。如有些正负号是表示物理量的数值；有些正负号则表示物理量的某种性质。

平动 物体在运动过程中，其上任意两点的连线在各个时刻的位置始终平行的运动。如升降机的运动，火车车厢的运动。

物体作平动，可以是直线运动，也可以是曲线运动，但物体上所有各点在任意时刻，都具有大小相等、方向相同的速度和加速度，在任意一段时间内，物体中所有质点的位移都是相同的，各点运动的轨迹也是相同的，并且相互平行。如图所示，薄板做曲线运动，其中任意两点所连成的直线始终与它的初始位置平行，所以薄板的运动属于平动。

由于物体做平动时其内部各点具有相同的运动特点，故物体内任一点的运动可以代表整个物体的运动，所以物体平动时可将物体作为质点处理。

转动 如果物体的各部分在运动过程中都绕同一直线作圆周运动， 这种运动叫做转动。这一直线称为转动轴。例如机械上齿轮的运动；地球自转等都是转动。如果转动轴是固定不动的，就称为有固定转轴的转动。有固定转轴的物体，如果处于静止状态或匀速转动状态时，则称之为平衡状态。如图所示为一有固定转轴为 ab 的球体。O 是任意一个转动平面和转动轴的交点，球体内所有质点分别在垂直于转轴的各个平面内作圆周运动，圆心都在转动轴上。如球体匀速转动，则球内各点都具有相同的角速度（ω），但线速度（v=ω·r）和向心加速度是不同的。假设图中所示为地球的自转，北京的纬度为θ=39°56′≈40°，地球的平均半径约为 6370km。由于地球自转北京地区的转动半径为：

r=Rcosθ=6.37×106×0.766=4.88×106（米）

北京地区的物体随地面转动的线速度为：

v＝w·r＝

2πr T

2π×4.88×10⁶

＝

24×60×60

＝355（米 / 秒）

物体的转动半径每秒钟转过的角度为：

w＝ 2π ＝7.27×10⁻⁵ （弧 / 秒）

T

＝4.17×10-3（度/秒）

北京地区物体的向心力与万有引力之比：

F 向 =

F万

mv² / r GMm / R ²

= v2 R2

GMr

= 355² ×(6.37×10⁶ ) ²

6.67×10⁻¹¹ ×5.98×10²⁴ ×4.88×10⁶

＝2.63×10-6。

质点 当物体的形状和大小在所研究的问题中可以忽略时，把这个物体看成一个具有质量的几何点，这样的研究对象在力学中叫做质点。实际上，物体都是有大小和形状的，但当物体的大小和形状与研究

的问题或者无关或者关系很小，就可以把物体当作一个“质点”来处理。当一个物体只做平动时，其内部各处的运动情况都相同，物体的运

动状态就可以用一个点的运动状态来代替。因此可将这物体看成一个质点。

质点是个抽象的科学概念，它是人们为了科学研究的需要而引入的一个理想模型，其目的是为了突出研究问题的主要矛盾。是物理学中经常运用的一种研究问题的方法。在力学中，除了质点以外，刚体、理想流体等，都是理想模型。

刚体 物体中各点之间的距离在运动过程中或在其受力作用时，都保持各点之间的相对位置不变。即物体的形状、大小在任何情况下都不变。这样的物体叫刚体。绝对的刚体是不存在的，它是一种理想化的模型。由于任何物体在受力作用时，都要或多或少地形变。如放在桌面上的物体，物体和桌面都要产生形变。但是，如果形变的程度相对于物体本身的几何尺寸可以略去不计时，就可以把它看成刚体。这样做可以突出主要矛盾使研究对象大大简化，以便解决主要的问题。刚体的最简单的运动形式是平动和转动。当刚体的整体做平动时，组成刚体的每一个质点的运动情况都相同。

时间与时刻 时间是物质存在的一种客观形式，因为

物质是不断运动和变化的，这种运动和变化的持续性和顺序性就是由时间来标志的。

我们可以用一根无限长的带箭头的线来说明时刻和时间，这条线称做时间轴，其箭头只表示先后次序，时间轴的起点（0）叫做零时刻，是研究问题的起始时刻；时间轴上每一个点表示一个时刻，如第二秒初， 第二秒末，前 4 秒末等等（如图所示）。时刻是衡量一切物质运动先后顺序所不可缺少的物理量，时刻没有长短，只有先后。时间轴上，用一段距离表示时间，第几秒，几秒内等都表示时间，时间是一个只有长短， 没有方向的物理量。由时间轴可知时间和时刻的关系：时间=末时刻-初

时刻。

时间与物体的运动过程相对应，即与物体的位移和路程相对应；时刻与物体的一个运动状态相对应，和物体的位置相对应。

习惯上把短暂到几乎接近零的时间叫即时，也叫瞬时。但严格地讲， 二者是有区别的，即时表示时刻，瞬时的含义是一段相当短的时间。

在国际单位制时，时间被定为基本量，时间的主单位是秒，通常所用单位还有分、时、日、年等。

任何周期性的过程，都可以用来测量时间，一天和一年的时间就是依据地球自转和公转来确定的。

路程与位移 质点在空间运动的轨迹的长度叫质点的路程。路程是标量，是描述物体在运动中实际经过的路径长短的物理量。一般来说路程并不反映物体位置改变的实际情况，质点由 A 点出发，可以经过不同路径达到 B 点，即同一个位置变化可以对应多个不同的路程。质点在空间运动，其位置变化叫做质点在这一运动过程中的位移。位移是矢量。几个位移的合成，遵循平行四边形法则。位移的大小由质点始末两点之间的距离决定，位移的方向则由质点的初位置指向末位置，用带有箭头的直线可表示。如质点由 A 经不同路径到 B 点，直线 AB 的长度即位移的大小，由 A 指向 B 的方向即是位移的方向。

位移并不表示质点通过的真实路径的长度，它所表示的是质点经过一段运动后，实际位置变化的总效果。在一般情况下，如非单向直线运动或曲线运动中，质点的路程不等于位移的大小。只有在单向直线运动中，质点通过的路程，才等于位移的大小。

匀速直线运动 在一条直线上运动的物体，如果在任何相等时间里通过的位移都相等的运动。做匀速直线运动的物体，它的位移跟时间成正比，即 s∝t，所以它的数学表示式为 s=v·t。其中 v 为比例恒量，称为匀速直线运动的速度。由于速度矢量是恒定的，即大小和方向都不变化，所以匀速直线运动可简称为匀速运动。

从运动学角度看，由于做匀速直线运动的物体速度大小和方向都不变化，所以它的平均速度和每一时刻的速度完全相同。

从动力学角度来看，做匀速直线运动的物体所受的合外力为零，其加速度为零，是在惯性支配下的运动。从能量角度看，质点做匀速直线运动时，其动能是不变的。

严格说，判断物体是否做匀速运动与我们测量工具精度有关。如当我们的秒表精度为 0.1 秒时，只要物体在每一个 0.1 秒时间内的位移都

一样，我们就说物体在做匀速运动。至于在小于 0.1 秒时，物体是否做匀速运动，则是在另一个时间精度下来讨论的问题。

速度 运动物体的位移和发生这一段位移所用的时间之比，即位移对时间的变化率。它是描述物体运动方向和位置变化快慢的物理量。

速度是矢量，其方向跟位移方向一致。速度的单位在国际单位制中是米／秒。

学习速度概念时，要注意了解平均速度和即时速度的区别和联系； 要注意区分即时速度和即时速率的不同，以及平均速度和平均速率的不同；要注意掌握各种不同性质运动的速度的特点，例如，匀速直线运动的平均速度和即时速度是相同的，因为匀速直线运动的特点是任何相等

时间内通过的位移是相同的。以上这些问题将在相应词条中专门论述。速率速率是运动物体经过的路程△s 和通过这一路程所用时间△t 的

比值。

速率是一个标量，它只描述物体运动的快慢，而不反映物体运动的方向。

当△t较大时，比值 △s 称为平均速率，平均速率与平均速度是不

△t

同的。如某学生围绕半径为 R 的圆形轨道从某处出发跑步，当第 n 次回到此处时，所用时间为 t，因为在时间 t 内位移为零，所以平均速度为零。

而在时间t内路程是2πnR，所以它的平均速度为v = 2πnR 。

t

当时间△t趋近零时，比值 △s 称为即时速率，可见即时速率和即时

△t

速度的大小是相同的，所以高中课本定义即时速度的大小为即时速率。对于匀速直线运动，它的速度大小，速率值，平均速度大小，即时

速度大小，即时速率都是一样的。

速率和速度都是描述质点运动快慢的物理量，它们的单位相同。但要注意两个概念是不同的。匀速直线运动的速度图象在平面直角坐标系中，用横轴表示时间，用纵轴表示速度，画出速度和时间关系的图象。简称速度图象。

匀速直线运动速度的图象 是一条与时间轴平行的直线，如图中的线段AB和CD。速度越大，图象距时间轴越远，图象下的面积（带斜线部分）表示在相应时间（如 2 秒）内的位移。

速度图象是速度与时间的关系线，它只表示物体的运动规律，并不

是质点的运动轨迹。作速度图象时，坐标轴必须标出单位，所求的物理量也

要在其数值后面标出相应的单位。如图中，AB表示物体做匀速直线运动

运动，其速度为 2 米／秒，位移大小为 4 米，方向与规定的正方向

是一致的。CD表示做匀速直线运动的物体速度为- 3米／秒，其位移大

小为 9 米，方向与规定的正方向相反。

匀速直线运动的位移图象 在平面直角坐标系中，用横轴表示时间，用纵轴表示位移，画出位移和时间的关系图线。简称位移图象（如图所示）。

匀速直线运动的位移图象是一条通过坐标原点的倾斜直线。速度大小等于θ角的正切值，即 v=tgθ，倾角θ越大，表示做匀速直线运动物体的速度越大。对于以某一个速度运动的物体 s∞t。

从s-t 图象中可以知道在时间△t 内通过的位移△s 所需要的时间△ t。位移图象是位移和时间的关系图象，它只表示质点的运动规律，并不

是质点的运动轨迹。

匀变速直线运动 在变速运动中，当物体沿一直线运动，并且速度在任何相等时间内改变量都相等的运动。做匀变速直线运动的物体的速度和位移随时间的变化规律，可由下面一组基本方程表示：

vt=v0+at

s＝v t＋ 1 at ²

0 2

在匀变速直线运动中，加速度矢量是恒定的，或者说，物体所受的合外力是恒定的。

做匀变速直线运动的物体，它的即时速度是时间的一次函数；而位移是时间的二次函数。

在速度和位移公式中，共有 5 个物理量：s，v0，vt，a，t 只要知道其中三个就能求出另外两个量。另外，s，v0，vt，a 都是矢量，由于这几个矢量是共线的，所以它们的方向，在规定了正方向前提下，可用+、

-符号表示。比如 v0＞0、a＜0 表示 v0 方向和规定的方向相同；a 的方向

与规定的正方向相反。正方向规定原则上是任意的，在运动学中，习惯上规定以初速度方向为正方向，在动力学中，通常以加速度方向为正方向。

在上面公式所表示的运动规律中，当： v0=常量 a=0 时，表示匀速直线运动； v0＞0 a＞0 时，表示匀加速直线运动； v0＞0 a＜0 时，表示匀减速直线运动； v0=0 a=g 时，为自由落体运动；

v0＞0 a=-g 时，为竖直上抛运动； v0＞0 a=g 时，为竖直下抛运动。

平均速度 在变速运动中，描述物体在某一段时间内运动方向和

运动快慢的物理量，用v表示，即v＝ △s

△t

如图所示，质点在△t 时间内，从 A 运动到 B 可以有不同路线，而它的平均速度大小只能是

v＝ △s ＝ AbB

△t △t

平均速度是矢量，它的方向就是位移的方向。

平均速度一般不能表示物体真正运动的快慢和方向，而是物理学中一种简化问题的方法。也就是说，当我们研究物体的运动，但不必关心它的各个时刻（或位置）的运动情况时，就采用平均速度这种方法，来表示物体在这段时间内“好像”以这样的速度在运动，这种“好像”只能反映运动的总效果。

物体在某段时间内的平均速度，只适用于这一段时间内（或这段位移内），因为做变速运动的物体在不同时间内的平均速度不一定是相同

的，即平均速度与所取的时间有关。如一物体从 O 点沿 x 轴正方向运动， 在任一时刻物体离 O 点的位移由方程 x=8t-3t2 给定。那么物体在 t=0 到t=1 秒时间间隔内的平均速度为

v ＝ △x1 ＝ 5 − 1 ＝5（米 / 秒）

¹ △t 1

方向沿 x 轴正方向。而物体在 t=0 到 t=4 秒时间间隔内的平均速度大小是

v ＝ △x 2 ＝ 32 − 48

² △t 4

＝－4（米\秒）

式中的负号表示 0—4 秒时间间隔内的平均速度沿 x 轴反方向。

平均速度，一般情况下，不等于速度的平均值，仅在匀变速直线运

动时，平均速度才可以写成v = v0 + vt 。

2

在求解平均速度时，只需知道某时间间隔内的初末位置，并不需要知道物体的运动轨迹情况。

平均速率运动物体的路程跟时间的比值称为这段时间或这段路程的平均速率，记作：

v = △s

△t

平均速率是标量，它只有大小，没有方向。平均速率的国际单位是米／秒。因为除单向直线运动外，其他轨迹的运动的路程和位移是不相等的（如图所示），所以平均速率一般不等于平均速度的大小，即

→

|AB| = ≠ AaB

△t △t

实际上，对于曲线运动（如圆周运动）平均速度实际意义不大，因为方向是不能平均的。所以我们平时所说的汽车、轮船等交通工具的“平均速度”有多大，实质上是指“平均速率”的大小，只不过人们在日常用语中习惯于用“速度”，而不习惯于用“速率”这个词罢了。

即时速度 用以描述运动物体在各个时刻或各个位置运动快慢和方向的物理量。

当位移△s 或时间△t 趋近无限小时的平均速度的极限值称为即时速度。其表示式为

即时速度的方向，是当△t→0 时的位移△s 的方向。当物体做直线运动时，△s 的方向就是物体运动的方向。在曲线运动中，如图所示，物体由 a 点运动到 b 点，其平均速度方向由 a 指向 b。当△t→0 时，b 点趋近 a 点，这时△s 的方向就是 a 点在曲线上的切线方向。即 a 点的即时速度方向就是过 a 点的切线方向。

加速度 描述物体速度变化快慢和方向的物理量。如果物体的速度变化大而用的时间又短，则速度变化快，也就是加速度大，反之则小。可见，加速度是速度对时间的变化率。

加速度用速度变化和发生这一变化所用时间的比值来量度。因此， 加速度的定义式为

a = △v

t

当所取时间（△t）较长时，这一比值（a）表示平均加速度；当所取时间趋于零时（△t→0），这一比值（a）的极限值表示即时加速度。对匀变速运动来说，加速度为恒量，其平均加速度和即时加速度是相等的。

要正确理解加速度概念，必须区分速度（v）、速度的变化（△v）

和速度对时间的变化率（ △v ）这三个不同概念。一个运动物体一定具

△t

有速度（v），但不一定具有加速度（a），因为加速度（a）与速度（v） 无直接关系。只有物体的速度发生了变化（有Δv），才有加速度。而且加速度的方向和速度改变（Δv=v2-v1)的方向一致，但△v 大，加速度 a 不一定大，因为加速度大小不是由Δv 这一个因素唯一决定，加速度是

由速度的变化率（ △v ）来决定和量度的。以上是从运动学角度的定义

△t

式来理解加速度，要真正深刻理解加速度，还必须从产生加速度的原因上进行研究。根据牛顿运动定律，加速度是由力的作用所产生，而且加速度的方向与力的作用方向永远一致，对于一定的物体其加速度随着力的变化而变化。如果物体受一个恒力作用，其加速度就不变，即物体做匀变速运动。

例如，一个物体沿直线做匀变速直线运动。t1 时刻的速度为 v1，t2 时刻的速度为 v2，则速度的增量：Δv=v2-v1。如果 v2＞v1，则△v 和物体运动方向相同，物体加速度的方向和物体的运动方向相同，物体做匀加速直线运动；如果 v2＜v1，则△v 与物体运动方向相反，即加速度方向与物体的运动方向相反，则物体做匀减速直线运动。可见，加速度方向并不一定和速度方向一致。

又如，一个做平抛运动的物体，设有水平初速度为 v1，因为物体是

沿一条曲线运动，当物体通过某位置 b 时，设其速度为 v2，其方向是曲线 b 点的切线方向，根据矢量法则：△v=v2-v1，可见 v2=v1+△v，即 v2 是 v1 和△v 的矢量合成。根据三角形法则，可得矢量合成图，△ v 方向就是平抛物体的加速度方向。△v 反映了平抛运动物体的速度大小和方向的改变。所以△v 应该叫做速度矢量的增量。平抛运动是匀变速曲线运动， 其加速度是重力加速度。△v 的方向和重力加速度的方向一致，竖直向下。

平均加速度 在变速运动中，设在时刻 t 到时刻 t+△t 的过程中， 物体的速度由 v1 改变为 v2，则物体在△t 时间内速度增量为△v=v2-v1，

那么比值 △v 称为运动物体在时间△t内的平均加速度：a = △v 。

△t △t

平均加速度是描述一段时间内总的速度变化快慢及方向的物理量。

平均加速度是矢量，它的方向由速度变化方向决定。如图所示，一质点做竖直上抛运动，向上和向下运动通过同一高度时，速度大小相等，方向相反，如取向上为正方向，则速度变化为

△v=（-v）-（+v）=-2v

式中结论中的负号表示速度变化方向与规定正方向相反。若经历时间为 t，它的平均加速度为

a = −2v

t

如果将匀变速运动学公式v = gt 下代入上式，并注意t = 2t 下 ，则a =

-g 这说明做竖直上抛运动的质点的平均加速度就是即时的重力加速度g。

在匀变速运动中，无论是直线运动，还是曲线（如平抛运动）运动， 其平均加速度就是即时加速度，它反映了质点在任何一段时间内速度变化快慢及方向都是一样的。在非匀变速直线运动中，它的平均加速度反映了一段时间内总的速度变化快慢及方向，而非匀变速曲线运动中的平均加速度是没有实际意义的。如图所示，做一般圆周运动的质点。从 A 点出发后，又回到 A 点，它的平均加速度是没有物理意义的。因为加速度是矢量，矢量是无法平均的。

平均加速度的国际单位是米/秒 2。

t+△t 趋近某一时刻时，物体运动的平均加速度的极限值，称为物体

在某一时刻的即时加速度，简称某时刻的加速度，即ai = lim △v

△→0 △t

即时加速度是用以描述物体在某一时刻或某一位置速度变化快慢和方向的，即时加速度是矢量。它的方向与速度变化方向（△v）是一致的。

由牛顿第二定律可知，对质量一定的物体的即时加速度的大小和方向由物体所受到的即时力决定，其变化规律完全由物体所受合外力变化来决定。如弹簧振子在振运过程中，合外力遵循 F=-kx 变化规律，其即时加速度也同样遵循这个变化规律：

F = ma = -kx a = − k x

m

如图所示，当球 1 和球 2 处于静止状态时，a1=0（∑F1=0），a2=0（∑F2=0）。当剪断绳子瞬间，弹簧还来不及变化。此时球 1（∑F＇=mg+F 弹=2mg）的加速度 a＇1=2g。球 2（∑F＇2=mg-F 弹=0）的加速度 a＇2=0。

匀变速直线运动公式 匀变速直线运动有两个基本公式即：速度公式和位移公式：

vt = v0 + at ①

1 ₂

s = v0 t + 2 at ②

①式反映了速度与时间的关系。②式反映了物体的位置与时刻的关系或位移和时间的关系。由这两个公式还可以导出另外两个很有用的公式。由①②两式消除 t 可得

v ² = v ² + 2as ③

t 0

v t + 1 at ²

根据平均速度定义可得v = s = 0 2

t t

= v0

• 1 at = v₀ + v₀ + at

2 2

∴v = v0 + v t ④

2

由匀变速直线运动的基本公式可以得出一些特殊的规律：在初速度为零的匀加速直线运动中，由公式 vt=at 可得出各秒末速度之比：

v1：v2：v3⋯⋯vt=1：2：3⋯⋯t ⑤

由公式s =

1. at

2

²可得出各秒末位移之比：

s1：s2：s3⋯⋯st=12：22：32⋯⋯t2；⑥ 也可得出每秒内位移之比：

sⅠ：sⅡ：sⅢ⋯⋯=1：3：5⋯⋯(2n-1)；⑦

做匀变速直线运动的物体，在各个相邻的相等时间的位移之差相等，即公式△s=aT2。如 s1、s2 为相邻的相等时间 T 的位移，由

s = v T + 1 aT²

1 0 2

s = v T + 1 aT²

2 1 2

v1 = v0 + aT

可得△s = s - s = aT²

应用匀变速直线运动公式解题：

①分析题意时，要特别注意对研究对象运动情况的分析，画出草图， 并在草图上标明已知量和未知量。如自行车以 6 米/秒的速度匀速通过汽车站，再前进 d=18 米后，一辆汽车以 3 米/秒 2 的加速度从汽车站出发追赶自行车。若问汽车在追上自行车之前，何时两车相距最远?解此问题时，要分析清楚两年运动情况的关系。汽车起动后速度由零增大，而自行车速度为恒定值，当汽车的速度小于自行车时，二车间的距离将越来越大。一旦汽车的速度增长到超过自行车速度时，两年距离才逐渐变小， 可见两车速度相等时，两车相距最远。作位移草图如图所示，设汽车经t1 秒速度增长到 6 米/秒。由公式 v=at 或得

t = v = 2（秒）

1 a

这时两车相距最远其大小为

s = d + s - s = d + vt − 1 at ² = 24（米）②解题时，要选择恰当的公

1 2 1 2 1

式，建立解题方程，在方程中尽量不要包含那些与已知量、未知量都无关的量，这样使解题将简便得多。如一物体做匀变速直线运动，从 A 到 B， 已知 vA 和 vB，及 A、B 之间距离为 s。若求物体通过 AB 所用的时间，显

然应选择公式v = s = vA + v B 即

t = 2s vA + v A

t 2

最简便。

③匀变速直线运动的基本公式是矢量方程，其中 s、vt、v0、a 都是在一条直线上的矢量，它们只有两种可能方向，所以解题时可规定一个正方向后，用正负号来表示已知量的方向，求解出的未知量为正，则表示其方向与所确定的正方向一致，反之相反。

匀变速直线运动速度图象 在平面直角坐标系中，用横轴表示时间，用纵轴表示速度，根据 vt=v0+at 画出速度和时间的关系图线。

匀变速直线运动的 v-t 图象是一条倾斜的直线，如图所示。从 v-t 图象中可以知道：图象在速度轴上的截距是物体运动的初速度；如图中的初速度 vA=4 米/秒。从 v-t 图象可以直接求得，某一时刻的即时速度， 或即时速度达到某一值时的时刻。如图中 B 点表示在时刻为 4 秒末时的即时速度 vB=12 米/秒。

从图象中可以求出运动物体的加速度大小，即加速度大小等于直线

的

斜率a = tgα = △v 。如图中所示的运动的加速度大小为a = tga = 2(米 / 秒² )。

△t

利用图象还可以求出物体在某段时间内的位移。即位移的大小等于v-t 图线和对应的时间轴上线段所包围的面积。时间轴上方的面积表示正方向位移，下方的面积表示反方向位移，它们的代数和表示合位移。

除了利用 v-t 图象可求得速度、位移、加速度等量外，还可以运用图象来研究物体做匀变速直线运动的一些有特征性的规律。例如，物体做匀

变速直线运动的平均速度v = v0 + vt 可以利用图象求得，如图所示，当

2

从图中还可以得出，做“匀变速直线运动的物体中间时刻的即时速

度

等于平均速度”这个重要结论，即vt /2 = v。

又例如，在图中，因时间间隔相等。图中所有小三角形面积都相等， 所以，相等时间相邻位移差，正好是两个小三角形面积，即△s=aT2

从图中，也很容易看出，1 秒内的位移相当于一小三角形面积，2 秒内位移相当于 4 个小三角形面积等。因此可以得出，在时间比为 1：1：1⋯ 时，位移之比为 1：3：5⋯⋯(2n-1)。时间之比为 1：2：3⋯时，位移之比为 12：22：32⋯总之利用 v-t 图象是研究物体运动规律的重要方法之

一。

匀变速直线运动位移图象在平面直角坐标系中，用横轴表示时间，

用

纵轴表示位移，根据s = v t + 1 at ² 所画出位移和时间关系图线。简称位移

0 2

图象。

匀加速直线运动的 s-t 图象如图(1)所示：匀减速直线运动的 s-t 图象如图(2)所示。图(2)所示图线可用如下位移公式来分析：

1 a v v ²

s = v t − at ² = − (t − ⁰ )² + ⁰

⁰ 2 2 a 2a

v v ²

当t = ⁰ 时，做匀减速物体位移为最大值，sm = ⁰ 。

a 2a

从 s-t 图象上，可以求出某段时间△t 内通过的位移△s；或通过某段位移△s 所用的时间；也可以求出某段时间（或位移）内的平均速度； 还可以求出某一时刻（或位置）的即时速度。

从图(3)可以看出，在△t 时间内对应的位移为△s，它的平均

速度v = △s 等于割线的斜率。如果△t趋近于零，割线AB与A点的切线

△t

重合，则可得出 A 点所对应 64 刻的即时速度（如图(4)所示）其大小为vA=tga

可以看出，在匀加速直线运动的 s-t 图线上，不同点的切线的斜率，沿曲线向上不断增大，也就是说即时速率不断增大。

图（5）中，交点 P 表示一个做匀速直线运动的物体和一个做匀加速直线运动的物体相遇或追赶上的时刻和位置。

图（6）所示，如取向上为正方向，a 线表示竖直上抛运动上升过程的 s-t 图象。b 线表示从同位置下抛运动的 s-t 图象。

自由落体运动 在地面上的物体只受重力作用，从静止开始下落的运动。

实验表明：在同一地点（即同纬度，同高度），在真空中任何物体， 自由下落的加速度都一样，但在不同地点（不同纬度，不同高度），在真空中同一物体的自由下落加速度是不同的。

可利用牛顿第二定律和万有引力定律，在不考虑地球自转影响时， 直接求得物体自由下落的加速度（即重力加速度）：

由GMm = mg

r 2

可得出g = GM =

r 2

GM

(R + h) ²

其中 R 为地球半径，h 为物体距地面的高度，m 为物体质量。当 R＞

＞h 时

g = GM

R2

式中重力加速度 g 的大小与物体的质量无关，可见，在同一地点（R 一定）,不同的物体重力加速度值是相同的。

由于地球不是一个严格的球体，所以不同地点 R 是不同的，故不同地点重力加速度值是不相同的。地球两极 g 值最大，赤道上 g 值最小。在一般要求不太严格的计算中，加速度的大小和方向都可以认为是

不变的，其方向是竖直向下，其大小记作 g=9.8 米/秒 2。

自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动。自由落体的重力加速度是由重力所引起的。如果在空气中，由于空气的摩擦阻力作用，物体下落的加速度应由重力和空气阻力的合力来决定。

竖直下抛运动 以一定的初速度向地面竖直抛出一物体，物体只受重力作用的运动。

竖直下抛运动是加速度为 g（重力加速度）的匀加速直线运动。其运动学公式可以写成：

s = v t + 1 gt ² ①

0 2

vt = v0 + gt

v ² = v ² + 2gs ③

v = v0 + vt ④

2

如节日燃放一种类似“双响”的炮竹，点燃时炮竹（可以看成质点） 的 A 部分以速度 v1；竖直向上抛出，B 部分则以速度 v2 向相反方向，即竖直向下被抛出。当 B 部分刚好到达地面，与此同时 A 部分上升到最大高度并且爆炸。试求此炮竹应距地面多少高度时点燃？根据竖直上抛规律

v = v - gt可得出t = v1 ，再由①式可计算出炮竹距地面高度h，h =

1 0

v t + 1 gt ² = v

g

• v1 + 1 g( v1 ) ² = v1 (v

• v1 )。

2 2 2

g 2 g

g ² 2

竖直上抛运动 物体以一定初速度沿竖直方向，向上抛出后，只受

重力作用下的运动。

竖直上抛运动可分为两个阶段来研究，一个是上升过程，这时它的初速度和重力加速度 g 方向相反，是匀减速直线运动。上升到最高位置时，末速度为零，但加速度仍为 g，因此从这一时刻（最高位置）开始， 它又将做自由落体运动（称为下落过程）。

由于物体在上升和下降过程中，加速度都是 g，即加速度的大小和方向都是恒定不变的，所以又可以把竖直上抛运动看做一个统一的匀变速运动来处理。如假定向上为正方向，则上抛任意时刻的位移由公式 s=v0-

1 gt ²计算，s为正，表示物体在原抛出点上方，如为负时表示物体已下

2

落到原抛出点的下方。同样，用公式 vt=v0-gt 计算出的末速度，当 vt＞ 0 时，表示物体向上运动，vt＜0 时表示物体正在向下运动。

研究竖直上抛运动时，要注意其对称性特点：某一段上升所用的时

间和同一段下落的时间相等。物体上升时经过某一高度时的即时速度大小与下落时经过该同一高度的即时速度大小相等（方向相反）。如图所示，我们把竖直上抛看成一整体来证明这个结论：物体由 a 点上升后， 又回到 a 点时是位移 s=0。

因为s = v·t = v下 + v下 ·t = 0

2

所以 v 上=-v 下

负号表示物体在 a 点的两个速度方向相反。上升时间可由公式 vt=v0-gt 求出：

t = v 上 − v2

上 g

= v 上

g

下落时：t

= v 下 − vt

= v下 ，可见，t = t 。

下 g g 上 下

竖直上抛运动的 v-t 图象如上图所示，三角形面积 S1 为上升阶段的位移，取正值。三角形面积 S2 为下落时的位移，取负值。如果物体回到抛出点，则合位移为零，即 S1=S2。由图线可以看出：上升时间等于下落时间；抛出的初速度值和下落到抛出点的速度值相等。

解竖直上抛习题时，正方向的建立虽有任意性，但也要注意正负号

问题容易出现错误。如，物体 A 从 80 米高处自由下落，与此同时，在它正下方的地面上以 40 米/秒的初速度竖直向上抛出物体 B。试分析二者经过多长时间在何处相遇？我们可以画出如图所示的位移关系图，设 A 下落了 h1，B 上升了 h2，为了保证 H=h1+h2 中 h1 和 h2 的都是正值，我们规定正方向时，对于 A 应取向下为正，而对于 B 应取向上为正。

因为h1

h

= 1 gt ²

2

= v t − 1 gt ²

2 0

所以h + h

2

= 1 gt ² + v t − 1 gt ² = v t

1 2 2 0 2 0

t = H v0

= 2(秒)

h2 = 60（米）

即二者经历 2 秒相遇。当然在解此题前还要判断一下，两物体能否在空中相遇。通过分析计算可知，A 和 B 在空间运行时间都是 4 秒，因此B 在上升到最高点以前便能与 A 相遇。

如果以 A 为参照物，则因 A、B 的加速度大小和方向相同，所以 B 对A 的相对加速度为零，则 B 以 v0 对 A 做匀速直线运动，那么 B 和 A 相遇时：

H=v0t

∴t = H

v0

= 80 = 2（秒） 40

可见选择合适的参照物，能使解题大为简化。

力物体和物体之间的相互作用。人们是通过受力物体发生形变，或受力物体的运动状态发生变化（即产生加速度）等效果来认识力。我国古代哲学家墨翟指出：“力，形之所以奋也”。这实质上是从动力学的角度给力下的定义。可见，我国古代学者们对力和运动的关系有比较深刻的认识。

力是物体间的相互作用，可见一个物体受到力的作用，必有其施力者，施力者可以通过物体之间直接接触而使受力者受到力的作用。例如物体之间由于互相拉、推发生了形变而产生弹力。施力者也可以不通过直接接触而通过“场”使受力者受到力的作用，如地球通过重力场对物体施以重力作用。总之，力的作用是离不开施力者的。这叫力的物质性。对物体进行受力分析时，要特别注意这一点。

力是物体间的相互作用，也就是说有受力者，必有施力者。同时， 施力者必然同时受到受力者的力的作用。如果把受力者受到的力叫作用力，则施力者所受到的力就叫反作用力。可见力是成对的，即有作用力必有反作用力。这叫力的相互性。

物体受到力的作用所产生的效果，不但与力的大小有关，还跟力的作用方向和作用位置有关。所以，力的大小、方向和作用点（即作用位置）叫力的三要素。力的合成和分解完全遵从矢量平行四边形法则，所以力是矢量。总之，力的物质性，力的相互性和力的矢量性是一切真实力所共同具有的特征。

力的分类方法 在中学物理中，有各种各样的力的名称。归纳起来是从两个方面来分类的。

一类是根据力的性质来命名的，如重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力、分子力、核子力等等。这些力都具有自己的产生原因，其大小和方向各自遵循一定的规律。近代物理学研究表明，自然界一切实在的相互作用，按本质来说有四种基本形式，即万有引力，电磁力，强相互作用力，弱相互作用力。

另一类是根据力的作用效果来命名。如压力、支持力、张力、动力、阻力、向心力等，这些力可以是同种性质的力，如压力、支持力、张力实质上都是弹力。

如上图所示，一个物体放在斜面上，重力的两个分力 F1 和 F2 从性质上属于重力，但 F1 的作用效果能使物体沿斜面下滑，所以又称 F1 为下滑力。F2 的作用使物体与斜面相互作挤压，于是斜面与物体之间产生弹力

（N 和 N＇），N 称为斜面对物体的支持力，N＇为物体对斜面的压力（效果力）。N 和 N＇从性质上讲都属于弹力，而 F1 和 F2 从性质上讲属于重力，不能混为一谈。

要注意对物体进行受力分析时，不要把上述二类力混淆起来。

重力 重力是由于地球吸引而使物体受到的力。更确切地讲，重力是宇宙中所有其它物体作用在该物体上的万有引力的合力。

但是在地球表面的物体，地球引力比任何其他物体的引力要大得多，以致实际上可以把所有其他物体的引力忽略不计，从而认为重力只是由地球引力产生的。

重力并不等于地球对物体的引力。由于地球本身的自转，除了两极以外，地面上其他地点的物体，都随着地球一起，围绕地轴做匀速圆周运动，这就需要有垂直指向地轴的向心力，这个向心力只能由地球对物体的引力来提供，我们可以把地球对物体的引力分解为两个分力，一个分力 F1，方向指向地轴，大小等于物体绕地轴做匀速圆周运动所需的向心力；另一个分力 G 就是物体所受的重力（图示）其中 F1=mω2r（ω为

地球自转角速度，r 为物体旋转半径），可见 F1 的大小在两极为零，随纬度减少而增加，在赤道地区为最大 Flmax。

F1max=mω2R=0.034m 牛顿 ① 在赤道地区物体受到的万有引力为

F 万 =

GMm

R 2

6.67×10⁻¹¹ ×5.976×10²⁴

6378.16² ×10⁶ ·m

= 9.79m牛 ②

对质量为 m 千克的物体，在赤道地区，向心力跟万有引力之比为：

0.034m = 0．00347

9.79m

可见，物体的向心力是很小的，所以在一般情况下，可以认为物体的重力大小就是万有引力的大小，即在一般情况下可以略去地球转动的效果。

重力大小可以用测力计测量，物体对测力计的拉力或压力的大小就是重力的大小。

物体的重力是随在地球表面位置不同而不同的。当纬度降低时，由

于万有引力减少（F = GMm 中r增大）而向心力增大，所以实重随纬

万 R 2

度减小而减小。物体的重力在同一地点随距地面高度增加而减少（距地

面越高，F = GMm 中的r增加，F = mω ²r中的r也增加）。

万 r 2

重力的大小除可以用万有引力大小计算以外，还可以由牛顿第二定律 F=ma 计算，这时重力可以写成：G=mg。

重力是矢量，它的方向总是竖直向下的。在地球两极和赤道，它的方向和地球半径一致，在其他地区竖直方向近似沿地球半径方向，例如， 北京地区的纬度为 40°，其坚直方向跟地球半径方向夹角仅仅约 0.1 度。

如下图中的几何三角形OAB与力三角形是相似形，所以 F1

F万

用①②两式数据，粗略计算如下：

AB = F1 R = 0．0034R

F万

＝ AB ，利

R

tg∠AOD = AD =

OD

R sin 40° =

R cos40° − AB

sin40°

cos40° − 0.0034

= 0.642 8

0.7626

= 0.8429

所以∠AOD = 40．13°

即北京地区重力方向与地球半径方向夹角为 0.13°。此外，在埋有密度较大的矿石附近地区，物体的重力要比周围地区稍大些，利用重力的差异可以探矿，这种方法叫重力探矿。

重心 一个物体的各个部分都受到地球对它们的作用力的作用，这些力的合力就是物体的重力，这些合力的作用点就叫物体的重心。

质量分布均匀、形状规则物体的重心位置就在物体的几何中心处， 如均匀球体的重心在它的球心。质量分布不均匀物体的重心位置除了跟

它的形状有关外，还与它的质量分布情况有关，例如起重机的重心随着提升重物质量和高度而变化。

一个物体的重心是个固定点，与物体的放置位置和运动状态无关； 重心的位置也不一定在物体上，例如质量分布均匀圆环的重心位于圆环的圆心处。用实验——悬挂法可以找出质量不均匀或形状不规则物体的重心：将物体悬挂，并使其平衡，这时重力的作用点一定在悬线方向上， 再换一个悬挂点，新的悬线也一定通过重心，前后两线的交点就是重心的位置。重心位置还可以利用转动平衡条件通过计算来求得。

弹力 发生形变的物体，在发生形变的同时，有恢复原状的趋势， 因而对跟它接触的物体要产生力的作用，这种力叫做弹力。

弹力的产生条件：一是直接接触，二是发生弹性形变。如图(1)中， 光滑球静止在 AOB 面上，且与二面都接触，可以断定：球与 AO 接触处无形变，因而就没有弹力产生，否则球将向右运动。

弹力大小的计算：可根据胡克定律，也可根据物体所遵守的运动规律和外界条件来计算。如图(2)中，A、B 两物体靠在一起，从斜面上由静止开始下滑过程中，它们之间是否存在弹力？弹力大小多大？已知 m1、m2、μ1、μ2。

A、B 之间是否存在弹

力要由它们的加速度决定：当 aA≥aB 时，就不存在弹力。当 aA＜aB 时，它们一起下滑，要产生挤压，就会产生弹力。弹力大小可由牛顿第二定律得出。

弹力的方向与物体的形变方向相反（与恢复到原形状方向相同）， 且作用在相互接触的另一个物体上，如图(1)中，球与 OB 面相挤压，球产生压缩形变，弹力作用在 OB 面上，且垂直指向 OB 面。而 OB 面形变后产生的弹力作用在球上，方向向上与 OB 面形变方向相反。

如果两个接触物体，不存在接触面，只是点接触，这时弹力的方向， 可以根据摩擦力方向来判断。因为摩擦力方向总是与其弹力方向垂直。如图(3)所示，A、B 两处的弹力是与墙面（或地面）垂直，还是与 AB 面垂直，我们可以这样分析：假设 AB 打滑，则 A 端沿墙面下滑，B 端沿地面右滑，从而可判断 A 端受的摩擦力沿墙面向上，B 端受的摩擦力水平向左，根据摩擦力与弹力垂直的关系，就可断定 A 端受的墙对它的弹力水平向右，B 端竖直向上。同理可判断图（5）中凹面上静止的棒 AB 两处弹力方向如图所示。

胡克定律 在弹性限度内，弹簧的弹力和弹簧的形变量（伸长或压缩值）成正比。写作：

F＝k·x

其中：“F”，表示弹簧的弹力，弹力是弹簧发生形变时对施力物的作用力。

“x”，是弹簧伸长或缩短的长度，注意“x”是以弹簧无形变时的长度为基准，即 x=x＇—x0 或 x=x0-x＇。

“k”，叫弹簧的倔强系数，它描述单位形变量时所产生弹力的大小， k 值大，说明形变单位长时需要的力大，或者说弹簧“硬”。k 跟弹簧材料、长短、粗细等都有关系。k 的国际单位是牛/米。

如果将几个同样的弹簧串联或并联起来后，这个新的弹簧的倔强系数不再是原来的倔强系数。如图(1)所示，设两个倔强系数都是 k 的弹簧串联后的倔强系数为 k1，则有 F=k1·x，由于 a 点的弹力也为 F，所以

对弹簧1可写成F = k x k = k 。又如图

• 2 ，比较上面二式，可以得出： 1 2

1. 所示，设两个倔强系数都是 k 原长相同的弹簧并联时的倔强系数

为k2 ，则有F = k2

• x，对弹簧1， F = kx，所以，k = 2k。可见，串联

2 2

后的弹簧倔强系数变小，并联后的变大。

弹力是一个变力，在弹簧的弹性限度内，弹力跟形变量成正比变化， 其函数图象如图(3)所示。由图可知，其弹力对形变量的平均值为

1

F = 2 kx，当将弹簧由无形变的原长拉到某一位置A，要克服弹力做功，

这个功的大小等于弹簧在 A 点时的弹性势能，即

1

x = kx²

2

所以这时弹簧的弹性势能为

1 ₂

Ep = 2 kx

滑动摩擦力 两个相互接触的物体，当有相对滑动时，在它们的接触面上，产生的阻碍相对运动的力。

滑动摩擦力是一种接触力，产生它的条件除二物体必须相互接触外，二物体还必须做相对运动。

滑动摩擦力的方向，平行于接触面，和相对接触面的滑动方向相反， 如图(1)所示，在水平地面上相叠放的二物体，在力 F 作用下有相对滑动， 若 m1 相对 m2 的运动方向向左，则 m1 所受到的滑动摩擦力方向向右，即滑动摩擦力方向与相对运动方向相反。而此时 m1 相对地的运动方向却是向右，但这个运动方向不是相对接触面的运动方向，因此与 m1 的摩擦力方向是无关的。

滑动摩擦力的大小，跟相互接触物体材料及其表面的光滑程度有关；跟物体间的正压力有关；但和接触面积大小无关。它的计算公式为f=μN，μ为滑动摩擦系数；N 是正压力。

滑动摩擦力是阻碍物体间的相对运动的，但不一定阻碍物体的运动，即在运动中也可以充当动力。如图(2)中，在光滑水平面上，一木块被子弹射入过程中，子弹跟木块之间产生一对摩擦力，木块所受摩擦力f＇跟木块运动方向一致，但却阻碍木块相对子弹之间的相对运动（木块相对子弹向右运动）。

滑动摩擦系数 滑动摩擦力（f）和接触物体之间的正压力（N）之比。记作：

μ = f N

实验证明，滑动摩擦系数只跟相互接触物体的材料有关，跟两接触物体表面的光滑程度有关。当两个物体被确定后，滑动摩擦系数跟正压

力和滑动摩擦力都无关。

滑动摩擦系数跟两物体表面的关系，并不是表面越光滑，摩擦系数越小。实际上，当两物体表面很粗糙时，由于接触面上的峰和谷交错齿合，会使摩擦系数很大；对于非常光滑的表面，尤其是非常清洁的表面， 由于分子力起主要作用，所以摩擦系数更大，表面越光洁，摩擦系数越大。但在力学中，常称“物体表面是光滑的”这是忽略物体之间的摩擦力的一种提法，实际上是一种理想化模型，与上面叙述毫无关系。

对金属，在大气中它们的摩擦系数一般都小于 1，如果设法除掉金属表面的氧化层，则它的摩擦系数将会变得很大，这是属于接触表面原子之间引力作用的结果。

滑动摩擦系数（μ）是一个无单位的物理量，它能直接影响物体的运动状态和受力情况。

静摩擦力 两个物体相互接触，当有相对滑动的趋势，但又保持相对静止状态时，在它们接触面上出现的阻碍相对滑动的作用力。

产生静摩擦力的条件是：两物体必须接触；物体间要有挤压力；两物体要有相对运动趋势。静摩擦力的方向沿接触面的切线方向，与相对运动趋势方向相反，我们可以设想，当没有摩擦力存在时，根据物体之间相对运动方向，就可以判断出相对运动趋势的方向。

静摩擦力的大小，随外力的增加而增加，并等于外力的大小。但静摩擦力不能无限度的增大，而有一个最大值，当外力超过这个最大值时， 物体就要开始滑动，这个最大限度的静摩擦力叫做最大静摩擦力（fm）。实验证明，最大静摩擦力由公式 fm=μ0N 所决定，μ 0 叫做静摩擦系数，N 为物体所受的正压力。摩擦力与外力关系如图(1)所示，a 点坐标表示滑动摩擦力大小，它与外力大小无关。ob 表示静摩擦力的范围，即 0≤f 静

≤fm，b 点坐标表示最大静摩擦力的大小。图线已显示出最大静摩擦力稍大于滑动摩擦力，在要求不太严格时，可以认为 fm=f 滑。这时静摩擦系数等于滑动摩擦系数。

静摩擦力的大小和方向可以根据物体的运动状态求出，如图(2)所示，在水平力 F 作用下，质量为 mA 和 mB 的两个物体静止不动，如何确定它们的摩擦力大小和方向呢？可分析如下。对 A：在竖直方向只受重力和摩擦力，因为重力向下，由ΣFy=0；可知 f1 必向上，并且 f1=GA。对 B： 物 A 对物 B 的静摩擦力为 f1＇（f1 的反作用力），又 GB 方向向下，由Σ Fy=0 可知墙作用 B 物体的摩擦力 f2 必向上。其大小为 f2=f1＇+GB=GA+GB。

又如在水平地面上叠放二物体 m1 与 m2 之间的摩擦系数为μ1。m2 和地面之间摩擦系数为μ2，在水平力 F 作用下 m1 和 m2 之间相对静止还是相对运动？m1 在最大静摩擦力（可认为等于滑动摩擦力）作用下获得的最大加速度为：

a = μ1 m1g = μ g

1

1

若 m1 和 m2 相对静止，整体加速度

a = F − ( m1 + m2 )gμ 2

m1 + m2

当 a≤am 时，m1 和 m2 处于相对静止状态，它们之间的摩擦力是静摩擦力，其大小为 f=m1a，但它们相对地面是以相同速度运动的。

当 a＞am 时，m1 和 m2 处于相对运动状态，它们之间的摩擦力是滑动摩擦力，其大小为 f 滑=μm1g。

绳的受力分析 当有外力作用于绳子使绳伸长时，绳子内部之间产生弹力，这种弹力的特点是只有当绳子伸长时才存在，因此称此种弹力为张力。设绳子 AB 两端作用拉力 F1 和 F2，C 为绳子上任一点（如图(1)）。我们可以把绳看作是由 AC 和 BC 两部分组成，显然 AC 和 BC 两部分之间有张力作用，设此张力为 TC。

在物理教学中，考虑到绳的实际情况和研究问题所允许的近似，常把绳作为两种理想化模型来处理。

一种情况是，绳是轻绳，其质量极小，与问题中其它物体相比质量可以略去。如图(1)中，设 F1＞F2，当绳运动稳定后即不再伸长时，根据牛顿第二定律

对 m 有 F1-F2=ma ①

对 m1 有 F1-Tc=m1a ②

如果，m=0 则有 F1=F2，Tc=F1=F2。这就是说，在力学问题中，只要存在绳子质量可以略去的条件，对于只在两端受力的绳来说，尽管加速度不为零，则这两个力一定相等，而且绳子的张力也处处相等，此张力等于绳子所受的外力。如图(2)所示，一光滑定滑轮通过细绳挂两个质量为 m1=6 千克、m2=4 千克的物体。求绳子的张力和物体系的加速度？

依题意绳的质量可以忽略不计，所以绳子两端受到的力大小相等， 它们分别是 T1 和 T2 的反作用力（图中没有标出），由牛顿第二定律（设T1=T2=T）

m1g-T=m1a T-m2g=m2a

解得：a = m₁g − m₂g

m1 + m2

T = 2m1m 2g

m1 + m2

代入数据后：

a=2 米/秒 2 T=48 牛顿

由上面各式可知，绳子受力（T 的反作用力）的大小由系统其它力决定（此处为重力）；只有当系统处于平衡状态时(a=0)，T=m1g=m2g。

由①②式，还可看出，当质量不为零而加速度为零时，F1 也等于 F2， 并且绳子中各点张力也都等于 F1(F2)。在静力学中，力能传递就是基于这个道理。如图(3)所示，在水平力 F 的作用下，系统保持静止状态，则各物体左右所受到的水平力大小都是 F，“好像”力 F 能够传递。这实质上是由于加速度等于零的结果。若加速度不为零，水平方向的力就一定不相等了。

第二种理想情况是假定绳子是刚性的，刚性绳是指绳子的倔强系数 k

非常大，它只要有极微小的形变就可以产生足够大的弹力。因此刚性绳中的弹力可以在△t→0 的时间内，能够产生突然变化（而弹簧中的弹力要发生变化，就需要有明显的形变，需要明显的不可忽略的时间，即弹簧的弹力不能够产生突变）。如图(4)所示，质量为 m 的小球，通过细绳OB 和 OA 系着处于平衡，现突然将 AO 剪断，在剪断瞬间，OB 线上的张力为多少？题中，若绳子的质量比小球质量 m 小得多，可以忽略。剪断前， 小

球受力情况如图(5)所示，OB绳受力T = mg

cosa

。如果绳是非刚性的，即

绳有形变。当 OA 剪断瞬间，OB 来不及形变，绳 OB 的张力应与没剪断

时一样。大小仍为T = mg

cosa

。如果假设绳子是刚性的，那么绳上的张

力则由系统中其它力和运动状态决定，由于剪断 OA 后，小球的运动状态要变化，因而绳 OB 受力就要变化。在无限小时间内，小球从静止状态转化为摆动状态，因而受力情况如图(6)所示，由牛顿第二定律

v 2

T - mgcosα = m l (l = OB)

当△t→0 时，v→0 所以 T=mgcosα

可见，把绳子看成是刚性的或非刚性的模型，在剪断 OA 瞬间它受力的大小是不同的。

杆的受力分析 杆与绳的受力特点不同，由于杆既能发生纵向的拉伸或压缩形变，又能发生横向形变，所以杆对物体的作用既可以是沿杆方向的拉力或推力，也可以是在其它任意方向上的弹力。如果把杆视为刚体，则杆的弹力可以发生突变。杆对物体的作用力往往需要根据杆或连接在杆上的物体所受到的其他力的情况及运动状态来确定。

杆的运动既可以是平动，又可以是转动，在共面力系作用下，杆处于平衡状态的充分必要条件为ΣF=0，在正交坐标中也可以写作

ΣFx=0 ΣFy=0 ① ΣM=0 或

ΣM 顺时针=Σ逆时针 ②

如果处于平衡的杆所受的各外力是共点力，由于各力对各力作用线交点的力臂为零，则杆的平衡条件只由①式决定。当杆有一个固定转动轴时，杆就不能平动。这时杆的平衡条件就只由②式来决定。

对杆件的受力分析，在中学阶段通常只研究“二力杆件”和“三力杆件”两种情况。

若一个杆件只受两个外力的作用而处于平衡，我们把这样的杆件称为“二力杆件”如图(1)所示。由物体的平衡条件可以知道力 F1 和 F2 大小相等、方向相反，并且两个力的作用线一定和杆件的轴线重合，又如图(2)所示，可忽略重力的轻杆 AB 处于平衡态，由于只在 A 和 B 两端受到力的作用，所以属于“二力杆件”，即在 B 端两个绳的弹力之合力一定沿杆向左，而墙对 A 端的压力一定沿杆向右，这两个力是一对平衡力。

如果杆件只受相互不平行的三个外力作用处于平衡，我们称之为“三

力杆件”平衡。根据三力平衡原理，这三个力一定汇交于一点，如图(3)， 均匀重杆 AB 属于“三力杆件”，杆的重力 G 作用线和拉力 T 的作用线交点为 O，可以判断出墙对杆的 A 端的压力 F 的方向一定通过 O 点。

如果处于平衡的杆受到四个力的作用，而其中有两个力的作用线互相平行，这样的杆件也可以转化为“三力杆件”，如图(4)所示，这三个力分别为绳的水平拉力 T；向下的力 P（P 为 B 点的弹力和杆的重力 G 的合力）；和墙对 A 点的压力 F。这三个力的作用线交点为 O。

三力平衡在静力学中是很普遍的，因此对“三力杆件”特点的认识和对其受力分析的研究是十分重要的。

如何分析物体受力 对物体进行正确地受力分析，是解决好力学问题的关键，如何进行物体的受力分析？大体可分为下面几个步骤。

1. 灵活地选择研究对象，也就是说根据解题的目的，从物体系中隔离出所要研究的某一个物体，或从物体中隔离出某一部分作为单独的研究对象。

所选择的研究对象要与周围环境联系密切并且已知量尽量多；对于较复杂问题，由于物体系各部相互制约，有时要同时隔离几个研究对象才能解决问题。究竟怎样选择研究对象要依题意灵活处理。

1. 第二是对研究对象周围环境进行分析，除了重力外查看哪些物体与研究对象直接接触，对它有力的作用，凡是直接接触的环境都不能漏掉分析，而不直接接触的环境千万不要考虑进来。然后按照重力、弹力、摩擦力的顺序进行力的分析，根据各种力的产生条件和所满足的物理规律，确定它们的存在或大小、方向、作用点。

2. 审查研究对象的运动状态，是平衡状态还是加速状态等等，根据它所处的状态有时可以确定某些力是否存在或对某些力的方向作出判断。

3. 根据上述分析，画出研究对象的受力图，把各力的方向、作用点

（线）准确地表示出来。

如图(1)人和木板的质量分别为 m 和 M，不计滑轮质量及滑轮与绳之间的摩擦，保持系统静止时，求人对绳子的拉力 T2=？（图(2)所示）

把人和木板看成一个整体，这样可以不必考虑人与木板之间的相互作用力，使问题简便些，如图(2)所示，T2 是滑轮 B 上绳子对系统的拉力， T1 是滑轮 A 上绳子对系统的拉力，(M+m)g 是地球对系统的重力。根据平衡条件有：

T1+2T2=(M+m)g

再以滑轮 B 为研究对象，周围环境里三条绳子对它有力的作用，如图(3)所示，其中 T1＇与 T1 大小相等，根据平衡条件：

T1＇＝2T2

所以 1

T2 = 4 (M + m)g

对物体进行受力分析时，还要注意以下几点： (1)正确地确定研究对象的模型。

质点和刚体是力学中两个理想化模型，对物体进行受力分析时，把它视为质点还是视为刚体，必须根据题意来确定。

当物体处于平动或平动平衡时，可以把它当做质点处理，这时各力的作用点可集中画到质心上。如图(4)所示，小球与 A、B 物之间无摩擦， 并处于静止状态，则小球受到的力为：重力 G、A 点和 B 点对它的弹力 NA 和 NB，由于弹力方向垂直于接触点的切面，所以这三个力汇交于小球的质心 O 处。

当物体受力作用有转动效果时，不能把力的作用线横向平行移动， 物体在哪一处受力，就必须把力的作用点画在那里，不能随便把各个力集中而通过质心，即不能把刚体当做质点处理，如图(5)所示，均匀梯子靠在光滑墙上，与水平成θ角，而处于静止，梯子受力应如图(5)所示。而不能画成图(6)所示。

1. 恰当地选择研究对象是十分必要的。

对于几个质量都为 m 的物体组成的物体系如果要求物体系的外力， 则当物体系各个物体的加速度相同时，应该用整体法分析物体受力。当物体系中各物体加速度不相同时，一般用隔离法分析。如图(7)所示，五个质量相同的木块，并排放在倾角为θ的斜面上，它们与斜面的摩擦系数相同，用力 F 沿斜面向上推物块时，斜面仍静止。若物块向上匀速运动，求地面对斜面的摩擦力？电于所求之力是系统的外力，又因为系统各个物体的加速度相同（为零），所以应该用整体法分析受力情况，如图(8)所示，F 在水平方向分力为 Fcosθ，由于物体系处于静止状态，根据平衡条件，可知地面对斜面的摩擦力的大小为 Fcosθ。若物体向上加速运动，试求物块 2 对物块 3 的推力大小？此时要用隔离法，由于只求第 2 块对第 3 块的推力，只需把 3、4、5 块作为一个整体隔离即可，其受力如图(9)所示。由方程：

T-3μmgcosθ-3mgsinθ

=3ma

F-5μmgcosθ-5mgsinθ=5ma

可解出 3

T = F

5

从解题过程可以体会到分析内力时应恰当选择研究对象，如果把每个物块都分别隔离求解，就非常复杂。

1. 分析摩擦力的方法。

可以根据物体的平衡条件分析摩擦力。如均匀木棒处于静止状态。在(10)图中，B 端只受地面的支持力 NB，从力的平衡角度分析可知，由于水平方向合力为零，所以 B 端不受地面的摩擦力。而在图(11)中 B 端就一定受到一个向右的摩擦力，否则水平方向合力就不能为零。

还可以根据牛顿第二定律分析摩擦力，如图(12)所示，放在小车 A 上的铁块 B，随小车由静止开始运动的时候，要确定铁块 B 受到的摩擦力方向，可考虑 B 随小车由静止开始运动时是加速过程，加速度方向向右， 根据牛顿第二定律，B 受到的摩擦力方向也一定向右，正是靠摩擦力的作用，B 才有向右的加速度（图 12(a)）。同样可以分析出，若 B 随小车作匀速运动，则不受摩擦力作用（图(b)）。若 B 随小车减速向右运动，B 的摩擦力方向与加速度方向一致是向左的（图(c)）。此题也可以根据相对运动确定摩擦力方向，但从加速度角度考虑比较方便。

物体受力分析是一个灵活问题，方法也很多，读者应注意在学习中在理解物理概念和规律基础上多进行总结。

力的合成 求几个已知力的合力。

力的合成遵循平行四边形法则，不能认为“合力总比分力大”，两

个共点力的合力大小为F =

F ² + F ² + 2F F

cosθ。可见，合力F与二分

1 2 1 2

力 F1 和 F2 的夹角θ有关，即 F1+F2≥F≥|F1-F2|。在矢量合成中，一定要注意抛弃“1+1=2”的算术运算法则。

在力的合成时，如果已知两个分力的大小、方向四个因素，求合力

的大小、方向两个因素，只有一组解；如果已知一个分力的大小、方向和另一分力的方向（或大小）三个因素，求合力，则可有无数多解；如果只已知两个分力的大小（或方向）两个因素，求合力，也是无数多解。

合力是一种“等效力”。在物理学中，运用“等效”概念研究问题是一种重要方法。但在解力学问题时，要注意利用力的等效合成概念， 使问题便于解决。但在分析物体受力情况时，我们只能分析物体实际所受的力，不能加上“合力”这样的等效力。例如，当物体沿光滑斜面下滑时，我们只能说，物体受到重力和斜面弹力的作用，而不能说还受到一个下滑力，因为下滑力是重力和弹力的合力，是“等效”力。

平行四边形法则 求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的有向线段为邻边，作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向，合力的作用点就是分力的作用点。这叫做力的平行四边形法则。

平行四边形法是通过实验（例如用两个互成角度的共点力作用于橡皮条产生的形变效果，跟用一个力作用产生的形变效果相同），用几何作图法验证得到的，所以它是一条实验规律，是用几何法求矢量合成的普遍法则，对别的矢量（如位移、速度、加速度、动量等）的合成也同样适用。

三角形法则 三角形法则是平行四边形法则的简化。根据平行四边形对边平行且相等，先画好任意一个力，再以此力的末端作为第二个力的始端，画第二个力，连结第一个力的始端和第二个力的末端的有向线段，就是它们的合力。这种方法就叫做矢量合成的三角形法则。力的分解如果一个力作用于物体上，可以按其实际作用的效果，用两个或两个以上的力去代替，这几个力就叫做原来那个力的分力，这种等效代替的方法叫做力的分解。

力的分解是力的合成的逆运算，遵循平行四边形法则，是已知对角线求两个邻边的问题。显然，如果没有附加条件，则可有无数个答案。所以，力的分解关键在于根据具体情况确定某一已知力的实际作用效果。以下两种情况可以得到确定的分力。第一，根据力的实际效果能够确定两个分力的方向，则可得到两个分力的大小，第二根据力的实际效果能够确定一个分力的方向和大小，则可得到另一个分力的方向和大小。

如在图(1)所示的支架上悬挂一个重力为 G 的灯。支架的重力不计。已知 AO，BO，AB 的长分别为 L1、L2、L3，求支架两杆所受的力。

解：在支架的 O 端悬挂电灯后，使支架的两根杆受到力的作用。由

于支架的 A、B 两端与墙壁是绞链连结，因此作用在杆上的力是沿杆的方向。但杆受的是拉力还是压力，需要通过实践来判断。可以设想，若将杆 AO 换成弹簧，则弹簧会被拉长，表示此杆受的是拉力。若将杆 BO 换成弹簧，则弹簧会被压缩，说明此杆受的是压力。这就是灯对支架 O 端拉力的两个分力所产生的实际效果。判断出两个分力的方向，那么根据平行四

边形法则很容易得出杆AO受到沿杆向外的拉力F = L1 T = L1 G，杆BO

1

3 3

受到沿杆向内的压力F = L2 T = L2 G。

2

3 3

在力的分解中，若已知合力的大小、方向和另一分力的方向，如图(2)所示，则其解要进行讨论。

当 F2<Fsinθ时，无解：

当 F2=Fsinθ时，有一个解；

当 F〉F2〉Fsinθ时，有两组解； 当 F2〉F 时，有一组解。

如图(3)所示，一个大人沿与河岸成θ角的方向拉纤，要使平行河岸的船行方向上得到一个合力力 F，则另一岸的一个小孩如何用力最小。

这道题已知合力 F 的大小方向和另一分力 F1 的方向，要求另一分力F2 最小，由作图法可知有唯一解：F2 垂直 F1 时，F2 最小。

力的正交分解 将一个力沿着互相垂直的方向（x 轴、y 轴）进行分解的方法，如图所示

Fx=Fcosθ Fy=Fsinθ

从力的矢量性来看，Fx、Fy 是力 F 的分矢量；从力的计算来看，Fx、Fy 的方向可以用正负号来表示，分量为正值表示分矢量的方向跟规定的正方向相同，分量为负值表示分矢量的方向跟规定的正方向相反。这样， 就可以把力的矢量运算转变成代数运算。所以，力的正交分解法是处理力的合成分解问题的最重要的方法，是一种解析法。特别是多力作用于同一物体时，计算起来，非常方便。

利用正交分解法求合力可分以下四步： 1．以力的作用点为原点，建立合适的直角坐标系；

1. 将各力进行正交分解；

2. 分别求出两个坐标轴上各分量的代数和（∑Fx、∑Fy）；

3. 正交合成，求出合力的大小和方向。

ΣF =

tgϕ = ΣFy

ΣFx

牛顿第一定律 一切物体（质点）总是保持匀速直线运动状态或静止状态，直到有外力作用迫使它改变这种状态为止。

牛顿第一定律包含着如下一些重要内容。

1. 无论是匀速直线运动状态还是静止态，都是速度矢量不变（速度大小和方向都不变）的状态。速度矢量不变的运动也就是没有加速度的运动，因此，如果物体不受到其它物体的力的作用，将保持没有加速度的运动。物体这种保持速度（矢量）不变的性质，称为惯性。第一定律指出，任何物体都具是惯性，故常称为惯性定律。有的同学认为，“只有运动的物体才具有惯性，”或“只有静止的物体才具有惯性，”这些看法都是不正确的。惯性是物体的固有属性，它和物体的运动状态无关， 当物体不受外力作用时，一切物体都毫无差别地表现出惯性，所以，牛顿第一定律只是指出了惯性的存在，当物体受到外力作用时，物体的运动状态发生改变，但是外力作用不能改变物体的惯性，外力作用下，物体运动状态改变的快慢程度却与惯性有着直接的关系。这是牛顿第二定律将要研究的内容。

2. 如果物体的运动状态改变了，也就是有了加速度，那么，物体必定受到其它物体施予这一物体的力的作用。因此，第一定律可以说是对力下了定义，认为力是产生加速度的原因，而不是所谓“维持速度的原因。”例如，一物体某时刻的速度为 v，如果从这一时刻开始物体不受任何力的作用，根据牛顿第一定律可知，该物体从这个时刻开始，就以这个时刻的速度 v 作匀速直线运动。可见维持速度不需要力的作用。

3. 一个物体的位置和它的运动情况，只能相对于被选作标准的另一个物体来确定，这个被选作标准的物体叫做参照物，或叫参考系统。那么，第一定律所指出，任何物体都保持静止状态或匀速直线运动状态的这种惯性又是相对于什么参照物而言的呢？实践告诉我们，牛顿第一定律并不是对任何参照物都成立的，我们把牛顿第一定律成立的参照物称为惯性参照物，牛顿第一定律不成立的参照物叫做非惯性参照物。这一点与运动学不同，在运动学里，为描述质点的运动，原则上我们可以选用任何物体为参照物。例如，行驶在公路上的汽车，当它急刹车时，在车中的乘客向前倾倒。若用地面为参照物来解释此现象就很自然：随车运动的乘客具有惯性，保持自己的速度不变，而汽车却是减速，这样乘客相对汽车就发生了向前倾倒的现象，这是符合牛顿第一定律的。但是， 若以汽车为参照物，乘客未受到其它物体的力的作用而不能维护静止（相对汽车）状态，这就证明物体不具有牛顿第一定律所说的那种惯性，也就是无法用牛顿第一定律来解释这种现象。所以，对于急刹车的汽车（对地面有加速度）这个参照物，牛顿第一定律是不成立的。因此，我们说地面是一个惯性参照物，而对地面有加速度的汽车为非惯性参照物。至于什么样的物体为惯性参照物？什么样的物体为非惯性参照物？这只能根据观察和实验来判断。

我们知道地球绕太阳有公转，同时本身还自转，所以地球相对于太阳是有加速度的，因此严格说来地球不能视为惯性参照物，而太阳可作为一个较精确的惯性参照物。不过地球的加速度很小，在一般的精确范围内，仍不失为一个相当好的惯性参照物，除了专门研究地球自转所引起的力学现象外，研究地面上物体的运动，一般都取地面作为惯性参照物，实践证明静止于地面或相对地面作匀速直线运动的任何物体也可看做是惯性参照物，而相对地面作加速运动的任何物体都不是惯性参照物而是非惯性参照物。在应用牛顿定律解决力学问题时，必须选用惯性参

照物，这是需要特别注意的。

牛顿第二定律 物体在外力作用下，将获得加速度。加速度 a 的大小跟物体受到的外力 F 成正比，跟物体的质量 m 成反比，加速度的方向跟外力方向相同，这就是牛顿第二定律，其数学表达式为

F=kma

牛顿第二定律公式中的常数 k 是受单位制所制约的。在国际单位制中（米·千克·秒），k 为 1。在应用牛顿第二定律解决各种动力学问题时，必须注意如下几个问题。

1. 牛顿第二定律是一个瞬时关系，从第二定律公式 F=ma 可知，物体在外力(F)的作用下，物体在瞬时产生加速度 a，也就是说被研究对象什么时刻受力，在该时刻就获得加速度；什么时刻力消失，在该时刻加速度就等于零。对于一定的物体来说，加速度的变化是随着力的变化而同时变化的。可见加速度和力之间存在着直接的、即时的因果关系。有些同学常常错误地认为力是产生运动的原因，认为力和速度之间有一种因果关系，其实牛顿第一定律已经告诉我们，在没有力的作用下，由于物体的惯性，物体同样是可以运动的。其次，速度是加速度对时间积累的结果，如果时间间隔△t=0，不管有多大的加速度，物体也不可能获得速度。所以速度和力之间不存在瞬时的因果关系。平常我们说一个物体在力的作用下由静止开始运动，这里有一个极短时间的加速度运动过程，并不是力产生了速度。

2. 质量是物体惯性大小的量度，从牛顿第二定律可知，加速度和

质量之间无因果关系，但是质量既对加速度的大小有影响（即a∝ 1

m

），又对加速度与力之间的因果关系有影响，试设想物体质量无限大的时候，即使有外力作用物体也不可能获得加速度；如果物体质量为零时， 加速度无限大而力却是个有限的数值。此时，物体的加速度与力之间不存在成正比的因果关系了。当然，质量既不可能无限大，也不可能是零值，利用这种外推法使我们更加认识了质量对加速度的深刻影响。

1. 牛顿第二定律是一个矢量关系，牛顿第二定律公式，F=ma，a 和F 都是矢量，而且加速度 a 的方向和力 F 的方向一致，对于只有一个力作用在物体上的情况，物体的加速度和力之间的矢量关系比较容易理解。即加速度大小与力的大小成正比，加速度 a 和力 F 的方向一致。如果物体上同时作用着几个力，这几个力各自产生着自己的加速度与它们各自单独作用在物体上时产生的加速度是相同的。根据这个结论，我们可利用矢量求和的平行四边形法则，分别求出这几个力的合力和合加速度。很容易证明物体的加速度（合加速度）与合力大小成正比，加速度方向与合力方向相同。因此，牛顿第二定律公式可以写成

∑F=ma

既然力和加速度都是矢量，可以根据平行四边形法则进行合成，当然也可以进行矢量分解处理。例如，一个物体在一个平面上运动，建立x-y 直角坐标系后，可以得到牛顿第二定律的分量式为

∑Fx=max

∑Fy=may

如果以法线(n)和切线(t)为正交坐标，则物体在平面上作曲线运动

时，牛顿第二定律的分量式为

∑Ft=mat

v2

ΣFn = ma n = m R

牛顿第二定律和牛顿第一定律一样，只有对惯性参照物才是成立的。

牛顿第三定律 两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在一条直线上。其矢量表达式为：F=-F′。

牛顿第三定律揭示了力的实质和来源——即力是物体与物体之间的相互作用。事实上，任何一种力都是由相互作用的双方共同决定的。例

如：万有引力决定于物体双方的质量和相互之间的距离（F = G m1 m2 ）

r 2

，库仑力决定于点电荷双方的电量和相互之间的距离（F = k q1q 2 ），

r 2

摩擦力则决定于两接触物体双方的表面性质和状态，以及双方的相对运动情况，等等。不研究相互作用的双方，就无法得到每一种力的作用规律。由此可见，牛顿第三定律是把相互作用的双方整体作为研究对象， 从而确定它们的相互关系的。第三定律是牛顿总结两个小球碰撞这类相互接触物体之间的作用力和反作用力的基础上首先提出来的，是他的独特贡献。

学习牛顿第三定律，应注意以下几点。 1．作用力和反作用力分别作用在相互作用的两个物体上，其效果不

能抵消。我们知道甲物体对乙物体有作用力，乙物体必对甲物体有反作用力。把力分成作用力和反作用力，并不是绝对的，我们可以把相互作用中的任一个力叫做作用力，另一个就叫做反作用力。并不是先有作用力，然后才有反作用力。作用力和反作用力总等值、反向、共线、同时出现、同时消失、分别作用在相互作用的两个物体上，各产生各的效果， 不会互相抵消。“鸡蛋碰石头，鸡蛋破了，石头完好”，不能说石头对鸡蛋的力大于鸡蛋对石头的力，只能说明大小相等的作用力和反作用力分别作用在两个不同的物体，由于它们的材料结构不同，产生了各自不同的效果。而一对平衡力，虽然也是等值、反向、共线，但却是作用在同一个物体上，所以效果能够抵消，使物体处于平衡状态。而且其中一个力消失，另一个力不会随之消失。例如：悬挂在细线上的小球由于受到重力 G 和拉力 F 这一对平衡力的作用而静止，当剪断细线，拉力 F 消失，而小球仍受重力 G 的作用，作自由落体运动。

1. 作用力和反作用力是同性质的力。如前所述，牛顿第三定律是以相互作用的双方作为研究对象的，只涉及两个物体。因此，产生作用力和反作用力的条件相同，它们必然是成对出现的同性质的力。如前例， 细线对小球的拉力 F 和小球对细线的拉力 F′都是由于二物微小形变产生的一对弹力。地球对小球的引力 G 和小球对地球的引力 G′，同属万有引力。而一对平衡力，涉及三个物体，两个施力物所施的力共同作用在一个物体上，所以力的性质不一定相同。

2. 在低速运动范围，不论是静止物体间的相互作用，还是运动物体

间的相互作用；不论是匀速运动物体间的相互作用，还是加速运动物体间的相互作用；不论是持续的相互作用，还是短暂的相互作用；都遵循牛顿第三定律，即牛顿第三定律对任何参照系都成立。同时，由牛顿第三定律可知，当两物体不受外力作用而只有相互作用时，它们的总动量的变化为零。这个结论对于由任意多个物体组成的封闭系统也成立，这就是动量守恒定律，它是物理学的基本定律之一。这个定律不仅适用于宏观物体之间的相互作用，也适用于微观的质点（即原子、原子核和电子）之间的相互作用。

单位制 由基本单位和导出单位所组成的一个单位系统。

目前，绝大多数国家和我国都在积极推广国际单位制。国际单位制是一九六○年第十一届国际计量大会通过的，其代号为 SI。

国际单位制的基本单位有 7 个： 1．长度单位——米；

1. 质量单位——千克；

2. 时间单位——秒；

3. 电流单位——安培；

4. 热力学温度单位——开尔文；

5. 物质的量单位——摩尔；

6. 光强度单位——坎德拉。

由上述七个基本单位和以此推出的导出单位就组成了一个完整的单位系统——国际单位制。在物理学中，特别是在理论物理学中，有时需要使用厘米克秒制单位及其发展的电磁单位，所以厘米克秒单位制至今仍作为一种保留使用的单位制。国际计量委员会认为，在使用厘米克秒制时，一般最好不与国际单位制并用。

单位制在物理计算中的作用 掌据单位制的知识对于物理计算十分重要。

在国际单位制中，我们选用长度、质量和时间的单位作为力学的基本单位，为了明确地反映各物理量单位之间的关系，我们可以用 L 来代表长度，用 M 与 T 代表质量和时间。这样，凡是包含长度、质量和时间的一切物理量，都可以用 L、M、T 的适当的次幂表示出来。即一个物理量 Q 与基本量的关系可以表示为

〔Q〕=LpMqTr

关系式中的各个指数 p、q、r 称为物理量 Q 在国际单位制中的量纲。如以力 F 为例：

〔F〕=〔M〕〔a〕=LMT-2

我们可以说，物理量力 F 对长度、质量和时间的量纲分别为 1、1 和

-2。上式的 LMT-2 称为物理量力的量纲式。可见“量纲”和“量纲式”是两个不同的概念。

我们从单位制中引出“量纲”的概念，可以在物理计算中帮助我们检验所推出的公式是否正确，因为只有量纲相同的量才能互相加减和用等号相联结。例如，某人在描述物体运动时，推得公式

₂ 1

U = U 0 t + 2 at

这个公式是否正确？我们可以利用量纲进行初步判断。公式中涉及

三项，各项的量纲式分别为 L2T-2、L 和 LT-1。三项的量纲各不相同，而却互相加减和用等号联结，所以肯定公式是错误的。

运用牛顿运动定律解题思路 牛顿运动定律是经典力学的基础定律。它以牛顿第二定律为核心，解决了运动和力的关系问题。运用牛顿运动定律解题，重点是研究运用牛顿第二定律解题的思路。

由牛顿第二定律公式∑F=ma 可知，式中 m 表示研究对象的质量；等式左边∑F 表示物体所受到的外力的合力。等式右边 a 表示物体在∑F 作用下的瞬时效果，∑F 是“因”，a 是“果”；等号表示等式左右两边不仅数值大小相等，而且∑F 与 a 方向一致，∑F=ma 是矢量等式。运用牛顿第二定律解题的基本思路是：

1. 仔细审题，明确研究对象；

2. 隔离研究对象，进行受力分析，画好受力图；进行运动分析，画好运动草图；

3. 建立适当的坐标系，进行力的正交分解，根据牛顿第二定律建立动力学方程（∑Fx=max，∑Fy=may），根据运动学公式建立运动学方程；

4. 求解方程组，对结果作必要的讨论和说明。

如图所示。木块 A、B 叠放于水平面上，它们的质量分别为 mA=4.0 千克，mB=6.0 千克。A、B 间的滑动摩擦系数μ1=0.25。其相互作用的静摩擦力的最大值为 fmax=12 牛，B 与水平面间的滑动摩擦系数μ2=0.20。现用水平恒力 F 向右拉 B，在下述两种情况下，两木块的加速度及二者间的摩擦力各是多少？(1)F=40 牛；(2)F=54 牛。（计算中取 g=10 米／秒 2）

解：先求出 A、B 能保持相对静止的最大加速度 a0，由 fmax=ma0 可知：

a = f max

= 3米 / 秒²

0

A

设此情况下作用于 B 的水平拉力为 F0，以整体为研究对象，根据牛顿第二定律有：

F0-μ2(mA+mB)g=(mA+mB)a0 ①

所以 F0=μ2(mA+mB)g+(mA+mB)a0

=50 牛

当 F〈F0 时，A、B 相对静止；

当 F〉F0 时，A、B 间有相对滑动。

1. F=40 牛〈F0，A、B 相对静止，加速度 aA=aB=a1，由①式可得：

a = F1 - μ 2 (mA + mB )g = 2.0米 / 秒2

mA + mB

fBA=mAa1=8.0 牛

1. F=54 牛〉F0，A、B 相对滑动。此时 A 受到 B 给它的水平向右的滑动摩擦力

   f′的作用，依滑动摩擦力公式有 f′=μ1mAg=10 牛；根

据牛顿第二定律可知：f′ = m a′ ，因此，a = f′ = 2.5米／秒² 。

A A

A

根据牛顿第三定律可知，A 对 B 的滑动摩擦力水平向左，大小也是10 牛。以 B 为研究对象，根据牛顿第二定律：

F2-f′-μ2（mA+mB）g＝mBaB

a = F2 − f′ − μ 2 ( mA + mB )g

B

B

= 4.0米 / 秒²。

超重、失重、完全 失重当物体存在向上的加速度时它对支持物的压力（或对悬挂物的拉力）大于物体所受到的重力的现象，叫做超重； 当物体存在向下的加速度时，它对支持物的压力（或对悬挂物的拉力） 小于物体所受到的重力的现象，叫做失重；当物体向下的加速度等于重力加速度时，它对支持物的压力（或对悬挂物的拉力）等于零的现象， 叫做完全失重。

弄清超重和失重现象，应注意区别“重力”和“视重”这两个不同的概念。对同一物体而言，重力是由于地球对这个物体的吸引而产生的力，它作用在这个物体上；而“视重”是这个物体对支持物（或悬挂物） 的作用力，它作用在支持物（或悬挂物）上。所以，重力是物体所受的力，视重是物体对支持物（或悬挂物）所施的力。如图所示，货物放在支持板上，地球对货物的吸引而产生的力 G 称为重力，货物对支持板所施的压力 N'称为视重。在一般情况下（如货物静止在支持板上，或随支持板一起作匀速直线运动），重力的大小和视重是相等的。但是，如果让支持板和货物一起作自由落体运动，货物将处在“完全失重”状态。显然，“失重”中的“重”，指的不是“重力”而是“视重”。

“超重”和“失重”的现象在宇宙航行中是不难遇到的。人坐在火箭中，当火箭发射而加速上升时，人有体重增大的感觉，这就是超重现象；当火箭降落时，人有漂浮的感觉，这就是失重现象。乘过电梯的人， 也有类似的体验。

平衡 若物体保持静止状态或保持匀速直线运动状态或绕固定转动轴做匀速转动，这时我们说物体处于平衡状态，简称平衡。在力学中， 平衡有两种情况，一种是在共点力作用下物体的平衡（即平动平衡）； 另一种是在几个力矩作用下物体的平衡（即转动平衡）。

平衡状态和平衡条件是不相同的。平衡状态指物体的运动状态；而平衡条件是指要使物体保持平衡状态时，作用在物体上的力和力矩要满足的条件。如物体在共点力作用下的平衡条件是所有外力的合力为零， 即ΣF=0；使物体转动平衡的平衡条件是作用在物体上所有力矩之和为零，即ΣM=0。

平衡状态和平衡位置是不同的，处于平衡状态的物体，可以有无数位置坐标，但这些位置坐标不叫平衡位置，平衡位置是指做往复运动的物体，当该物体静止不动时的位置或物体回复力为零的位置。如单摆摆球在 AB 之间振动，摆球静止时的位置 O 点叫做单摆的平衡位置，此时摆球的回复力为零。当摆球运动时，它是以平衡位置为中心往复运动。在研究振动物体时，都是以平衡位置为坐标原点的。

共点力的平衡 在共点力作用下物体处于静止或匀速直线运动的状态。物体同时受几个共面力的作用，如果这几个力都作用在物体的同一点，或这几个力的作用线都相交于同一点，这几个力就叫做共点力。在共点力作用下物体的平衡条件是物体所受的合外力为零，即ΣF=0，如果把这些力分解到直角坐标系 xoy 中，则可得平衡条件的分量式为Σ

Fx=0，ΣFy=0。在相互平衡的几个共点力中，其中任何一个力一定与其它几个力的合力大小相等，方向相反，即共点力的平衡可归结为二力平衡。

用共点力平衡条件解题时，关键是要正确分析受力，画出力图，然

后再确定具体解法，在认真分析的基础上，采取最简方法。

三力平衡原理 物体在三个力的作用下，处于平衡状态，叫做三力平衡。三力平衡有一条重要而简单的法则：如果它们不平行，它们的作用线必交于一点（只讨论共面力系），在图(1)中，杆 AB 在 F1、F2、F3 作用下静止，若三个力不交于一点，而是交于 O1 和 O2，则杆对以 O1 或 O2 任一点为轴的合力矩都不为零。所以，O1 和 O2 必重合。因此，对于这类问题，既可用力矩平衡条件求解，也可以用共点力平衡求解。如图(2)所示，不均匀细杆 AB 长 1 米，用两根细绳悬挂起来，当 AB 在水平方向平衡时，二绳与 AB 夹角分别为 30°和 60°，求 AB 的重心位置？

因杆处于平衡，受到的三个力 T1、T2 和 G 必交于点 O，只要过 O 点作一条 AB 的垂线，它与 AB 的交点 C 就是 AB 的杆的重心。由三角函数关系可知重心 C 到 A 的距离为 0．25 米。

物体在共点力作用下，其合力的作用点就是各分力的作用点，如果物体是在同向平行力作用下，则合力的大小等于各分力之和，方向跟分力方向相同。但合力的作用点则需通过计算才能求得。如图(3)所示，三个平行力 F1=10 牛，F2=20 牛，F3=30 牛，它们的作用点距物体端点 O 的距离分别为 20cm、30cm、70cm，则合力为：

F 合=F1+F2+F3=60 牛

设合力作用点在 P，如选 O 点为转轴，则合力 F 合对 O 点的力矩必须等于各分力对 O 点的力矩之和，即

F合x = F1·OA + F2 OB + F3 OC

解后可得 x=0．48 米

即合力的作用点距 O 点为 48 厘米。

力矩 力(F)和力臂(L)的乘积(M)。即：M=F·L。力矩是描述物体转动效果的物理量，物体转动转态发生变化。才肯定受有力矩的作用。

当物体绕固定轴转动时，力矩只有两种可能的方向，所以可用正负号来表示。一般规定：使物体沿逆时针方向转动的力矩为正；使物体沿顺时针方向转动的力矩为负。因此作用于有固定轴的转动物体上的几个力矩的合力矩就等于它们的代数和。这个代数和将决定物体是处于平衡状态，还是非平衡状态。

在国际单位制中，力矩的单位是牛顿·米，注意不能写成焦耳。焦耳是能量单位，力矩和能量是两个不同的概念。

在计算力矩问题时，要注意力臂是在垂直转动轴的平面内，从转动轴到力的作用线的垂直距离。

力偶、力偶矩 两个大小相等、方向相反的力，并且力的作用线互相平行而不重合，这样的一对力称为力偶。力偶中两力的垂直距离称力偶臂，力偶所在的平面称力偶作用面。如用手指旋钥匙、水龙头时，所施加的作用常是力偶。指南针的北极和南极受到地磁场的作用，如图(1) 所示，两磁场力大小相等，一个力指向南，一个力指向北，只要这两个

力不在同一条作用线上，就形成了一个力偶。

图(2)所示，表示由两个力组成的力偶，每个力的大小均为 F，相距为 l，从整体上看，其合力为零：F 合=F-F=0。因为合力为零，所以力偶不能改变物体平动状态，力偶的作用效果仅仅是使物体转动状态发生改变。力偶的转动效应决定于力偶的力矩，简称为偶矩。力偶矩是力偶对某一转动轴的合力矩，如图(2)中，绕任意点 O 的力偶合力矩为：

ΣM=Fx2-Fx1=（x1+l）F-Fx1=Fl 由上式可知，由于 O 点是任意选取的，

所以一个力偶矩的大小跟所选取的转轴无关，它仅由力偶中的任意一个力和力偶臂的乘积决定。

如果有几个力偶同时作用在物体上，则物体的转动效果将由力偶矩的代数和决定。力偶矩代数和为零时，物体将保持角速度不变或保持静止。

有固定转动轴的物体平衡 在几个力矩作用下，有固定转动轴的物体平衡状态是指该物体处于静止和匀速转动的状态。

有固定转动轴的物体的平衡条件是作用于物体的所有外力矩的代数和等于零，即ΣM=0。

运用有固定转动轴的物体的平衡条件分析问题时如，果恰当地选择研究对象和正确地分析力，常常可使问题的解决大为简化。

杆秤 根据有固定转动轴物体的平衡条件为原理制成的称量物体质量的工具。如图(1)所示。O 处是提纽，为杆秤的固定转动轴；B 处固定秤钩，用以吊挂被测重物；C 点为杆秤的重心；当秤钩上没有挂被称物体时，移动秤锤于 A 处，提起提纽，使秤杆平衡，则秤锤的位置 A 点就是杆秤的零刻度，也叫做定盘星。

把质量为 50 克(1 市两）的物体挂在秤钩上，调整秤锤的位置，使杆秤平衡，这时秤锤的位置就是秤的 50 克的刻度。再把秤钩上挂的质量换为 100 克、200 克等物体，使杆秤平衡就能找出 100 克、200 克等刻度的位置等等。一旦杆秤上刻度确定后，提纽、挂钩的位置和秤锤的质量就不能再改变，否则原刻度线就得重新修定。

实用中的杆秤，定盘星也可以在提纽的右侧，但此杆秤的重心在左侧，总之定盘星和杆秤的重心，一定在提纽的两侧。

杆秤问题的计算，实质上是有固定转动轴物体平衡条件的应用。例如，我们证明杆秤的刻度是均匀的，即称重物时，秤锤的位置到定盘星 A 点的距离和被称重物的质量成正比时，可列出两个方程，其一为不挂重物时的力短平衡方程，另一个是挂上重物后的力矩平衡方程，就可求解。即不称重物时（图(1)所示）：

m1gOC = m2 gOA ①

其中 m1 为杆的质量，m2 为秤锤的质量。秤钩上挂上重物 mg 后：

mgOB = m1gOC + m2 gOD ②

由①②式得：

mgOB = m 2 gOA + m2 gOD = m2 g·l ③

所以l = OB ·m

m2

即l ∝ m

市场上所谓不准秤，是不法商人将杆秤的秤锤换成小质量的，由③ 式可知，在同一刻线上（l-定）只需要较小的质量 m，就能使杆秤平衡， 这样消费者利益就受到损害。或者加大秤钩（盘）的重量，或者将杆秤内部掏空，并在其中注入流动性好的水银，称重时，抬高秤尾，使水银流到有挂钩（盘）的一端，这样③式就成为

（m′g + mg）OB = m2 gl

其中 m′表示水银或秤钩（盘）所增加的质量，可以看到，当 m2、l 一定时，所要称的质量 m 自然要减小。起重机的平衡有各式各样的起重机，图所示是一种塔式起重机，机身为一塔架，有一个可回转的长臂架， 臂架装在高耸塔架的上部，主要用吊钩吊运重物。

设起重机自身重力为 G0，重心在中心线 OO′上，它的额定起重的重

力为 G，吊货物的钢索与中心线相距为 a，平衡箱 P 的重心离中心线为 b， 起重机底座的宽度为 l，那么起重机的平衡箱的重力应取多少？

当起重机空载时，平衡箱和塔身的公共重心在 OA 之间，若平衡箱重力过大，整体重力的作用线就可能超出支持面右侧 A 点，以致使起重机向右倾倒，因此，平衡箱的重力有个允许的最大值，为了保证空载时起重机不向右倾倒，平衡箱的重力 G0 对 A 点的力矩不能大于起重机自身重力 G0 对 A 点的力矩，所以

G 1 AP≤G 0 OA

所以

G l

G ≤ G 0 OA = 0 2 =



G 0 l

¹ AP

b − l 2

2b − l

当塔吊满载时，为了不使公共重心超出支承面的 B 点，平衡箱的重力 G′1 不能小于某个值，这个最小值计算如下：以 B 为转动轴，由力矩平衡条件ΣMB=0 可以得到

G′(b + l ) + G l (a − l )

2 0 · 2 ≥· 2

所以G′≥ 2aG − Gl − G 0l = G(2a − l) − G 0l

2b + l 2b + 1

以上计算结果表明，平衡箱的重心不能大于

G(2a − l) − lG 0 。

2b + 1

lG ₀

2b − l

，也不能小于

平衡的种类 一个物体，如果是在重力场（或电场或其他有势场） 中满足ΣF=0 和ΣM=0 条件，则可处于平衡状态，而这种平衡状态又可以分为稳定平衡状态，不稳平衡状态和随遇平衡状态三种情况。

①稳定平衡在重力场中的物体都有向势能较小的位置运动的趋势， 相对势能越小，物体就越稳定，所谓稳定平衡是指物体处于势能最小位

置时的平衡。它的特点是：如果给它一个微小的扰动，使它离开平衡位置，外界必须对它做功，这样势能就增加，扰动后，物体又能自动回到原来势能最小的位置。

②不稳定平衡在重力场中，物体处于势能最大的平衡，叫做不稳定平衡。它的特点是，如果任何微小扰动，使它离开平衡位置，外界不必对它做功，而自身的重力对它做正功，使其势能减小，因此，再也不可能自动回到原来那个势能最大的位置了。这种平衡状态是极不稳定的， 很难以实现的。如走钢丝的杂技演员，就是在重力和支持力作用下平衡， 是属于不稳平衡。杂技演员就是凭借他掌握不稳平衡的高超技巧，以惊险而优美的动作，牵动观众们的心。

③随遇平衡是指处于平衡状态的物体，在受到微小扰动后，势能始终不变，即重心高度总保持不变；物体所受到的合外力和合力矩总为零。因此它可以在任意位置保持平衡。如小球在水平面上滚动到任何位置时，重力和支持力能平衡，所以小球在水平面上是处于随遇平衡状态。

稳度 是指物体稳定平衡状态的稳定程度，稳度的大小由物体重心的高度和支持面的大小决定。重心低，支持面大的物体稳度大，反之则稳度小。所谓支持面是指物体各部分所围成的面积。如站在行驶车厢里的人，为了增大稳度，往往把两腿叉开，这样两脚所围成的面积就增加了，支持面增加了（同时重心也降低了），稳度增大了。又如一块砖平放和竖放相比较，平放时重心低，支持面积大，所以稳度就大。如图所示，一物块，如果受到某外力矩的作用，使其重力作用线通过 B 点时（如图(b)和图(c)，物块将翻倒。只要重力作用线没有通过 B 点或重力作用线转过的角度小于θ角（如图(a)和图(c)），物体就会在自身重力作用下回到初始位置，稳定平衡就不会被破坏。当底面积越大，θ角越大（图(a)），重力矩越大（如以 B 点为轴），同样大小的外力矩，就越不易破坏它的稳定平衡状态。当物体重心升高，重力作用线转过较小的θ角（图(c)）就将通过 B 点，即稳度降低，可以设想，当重心无限高时，θ角趋近于零，则物体的稳度为零。增大物体的稳度有重要的实际意义，为了增大物体的稳度，既可以增大底面积，也可以降低重心的高度，还可以同时增大底面积和降低重心高度。精密的天平一定安置在一个底面积较大，又较重的底座上；高压线的铁塔都有一个很大的支持面；越野汽车和山区的拖拉机轮间宽度都较大，都是为了增大物体的稳度。

曲线运动 质点运动的轨迹是曲线的运动。做曲线运动的质点其速度、加速度及受力情况均有别于直线运动。曲线运动中，即时速度的方向沿曲线的切线方向。对此，可结合图(1)来理解。图中的曲线表示质点运动的轨迹，若质点从 A 到 B 历时为△t，与△t 相对应的位移可用△s 表示，从 A 到 B 的平均速度为

v = △s

△t

平均速度的方向就是△s 的方向，显然它由曲线的弦的方位决定。若将△t 的取值减小为△t′，其对应的位移为△s′，则有

v = △s′

△r′

若将△t 继续减小，平均速度大小和方向也不断变化，可见平均速度

的大小和方向与时间间隔的选取有关。但是当△t→0 时，平均速度将趋于一个定值——极限值，该极限就是质点在 A 处的即时速度 vA，它的方向沿 A 点的切线方向。

曲线运动中，速度矢量的方向不断改变，图(2)中 vA，vB，分别表示

A、B 两点的即时速度，vA 为初速度，vB 为末速度，其速度的变化量如图中△v 所示。显然，如果 vA，vB 的大小相等，△v 也不会等于零。所以曲线运动是变速运动。

曲线运动中的加速度仍然由a = △v 来确定，加速度的方向就是速

△t

度变化的方向。图(2)中，质点从 A 到 B 的平均加速度的方向就是△v 的

方向。当△t→0时， △v 的极限就是A点的即时加速度。

△t

一般来说，即时加速度的方向既不和曲线相切，也不和曲线的法线重合。如图(3)中 aA 所示。若将 aB 沿切线和法线方向分解，可得 at，an 两个分量。at 称为切向加速度，它表征速度大小改变的快慢，an 称为法向加速度，它表征速度方向改变的快慢。法向加速度的存在是曲线运动有别于直线运动的显著特征。也可称之为曲线运动学特征。

力是产生加速度的原因，图(3)中 aA 的方向也是质点所受合外力的方

向。做曲线运动的质点所受合外力的方向与速度方向不在一条直线上， 这既是曲线运动的动力学特征，也是质点做曲线运动的条件。典型的曲线运动有：平抛运动、斜抛运动、圆周运动等。

运动的独立性原理一个物体同时参与两个或更多的运动，这些运动都具有独立性，其中的任一个运动并不因为有另一个运动的存在而有所改变。合运动就是这些互相独立的运动的叠加，这就是运动的独立性原理或运动的叠加原理。

此原理可从两方面来理解：其一，分运动各自独立，互不影响。例如：竖直上抛运动中的二个分运动即竖直向上的匀速直线运动和竖直向下的自由落体运动同时存在而又互相独立，如图，在公式

h = v t − 1 gt ² 中，

0 2

v v 2

设t = ⁰ ，则h = v t = 0 ，

g 1 0 g

1 1 v 2 v 2

h = gt ² = − ⁰ ，所以H = h − h = 0 。

² 2 2 g

1 2 2g

其二，物体在某一时间间隔的位移以及某时刻的速度、加速度均由分运动的对应量叠加而成。例如，渡船在河水中相对地的速度，就是由水流速度和船相对水的速度叠加产生的。这种叠加遵从矢量合成的法则。描述物体运动过程及状态的物理量位移、速度、加速度等都是运动时产生的效果。合运动的总效果等于分运动各自所产生的效果的叠加。

运动的合成 已知分运动求合运动。运动的合成包括位移、速度、加速度的合成，合成的方法是运用平行四边形法则从分矢量求得合矢

量。

运动合成中最简单又最重要的是互成角度的两个直线运动的合成。分运动虽然都是直线运动，但合运动的轨迹可能是直线，也可能是曲线。例如从高空竖直落下的雨滴在地面附近做竖直向下的匀速直线运动，当受风力作用使雨滴具有恒定水平分速度时，雨滴则做斜向下的直线运动。若风力时大时小，则雨滴下落的轨迹必是曲线。合运动的轨迹在什么条件下是直线，在什么条件下又是曲线呢？一般地说，互成角度的两个分运动都是匀速直线运动，其合运动一定是直线运动；若一个分运动是匀速直线运动，另一个分运动是变速直线运动，合运动是曲线运动。例如： 船在匀速流动的河水中船头正对河岸匀速行驶，其轨迹是偏向下游的直线；若船加速行驶，则轨迹是曲线。两个分运动都是匀变速直线运动而且合加速度方向恰好与速度方向在一条直线上，则物体运动的轨迹是直线。图中，若物体从 t=0 时刻静止开始从坐标原点出发，在 x 方向做加速度为 ax 的匀加速直线运动，在 y 方向做加速度为-ay 的匀加速直线运动，则物体运动的轨迹是直线，该直线与 x 正方向的夹角为

θ = arctg a y ，合加速度的大小为a = a ² + a ² 。如果该物体在t = 0时刻

a x x y

具有水平初速度 vox，则物体运动的轨迹就不是直线，物体将做加速度

a = a ² + a ² 的匀变速曲线运动。

x y

运动的分解将某一个复杂的运动分解为二个或多个简单的运动。 运动分解的基本依据是运动的独立性原理。具体运用时要按照运动

产生的实际效果和化繁为简的目标灵活处理。如抛出的铅球做曲线运动。我们可以把它分解为两个直线运动。设想如果没有地球吸引力作用， 铅球脱手后将做斜向上的匀速直线运动，如图中 OA 射线所示。设想如果有地球吸引力而无初速度铅球将做自由落体运动。所以铅球所做的曲线运动可以分解为沿初速度方向的匀速直线运动及竖直向下的自由落体运动这两个直线运动。物体经 7 秒后的位移 st 是 t 秒内二个分运动产生的位移 s1 和 s2 的矢量和。物体在 t 秒末时的即时速度 vt 是两个分运动的即时速度 v0 和 gt 的矢量和。图中的二个矢量三角形分别表示分位移与合位移、分速度与合速度的关系。铅球的运动也可用正交分解的方法，将其分解为水平匀速直线运动与竖直上抛运动两个分运动（详见“斜抛运动”）。

由于两个分运动中只有自由落体运动具有加速度，所以合运动的加速度仍为重力加速度 g，可见，铅球的运动是匀变速曲线运动。

平抛运动的特点 将物体用一定的初速度沿水平方向抛出，物体所做的运动就是平抛运动。做平抛运动的物体仅受重力（不计空气阻力） 作用。平抛运动可以分解为水平匀速直线运动和自由落体运动两个分运动。用平面直角坐标表示这两个分运动可得如下公式：

x=v0t

1

y = gt ²

2

由此两式中消去 t，可得

y = 1 g x²

2 2

0

此式说明平抛运动的轨迹是抛物线，如图(1)所示。平抛运动的位移是从坐标原点 O 到轨迹上某一点（如 A 点），所引的有向线段，若用 x，

y表达s，则s =

= v ² t ² + 1 g²t ⁴ 。所以，平抛运动的位移的大

0 4

小和方向都是时间 t 的函数。

平抛运动的即时速度沿抛物线的切线方向，如图(2)所示。将即时速度分解为水平分量 v0 和竖直分量 gt1。图中 v1、v2 分别表示 t1、t2 时刻的即时速度。由于 v1、v2 的水平分量都是 v0，所以将 v1、v2 的起点平移到同一点，这两个矢量的末端必然位于同一竖直线上。

2 2

平抛运动即时速度的大小为vt = v + (gt) ，即时速度与水平分速

度v0

的夹角θ = arctg gt 。

v

0

平抛运动的加速度恒为 g，所以平抛运动是匀变速曲线运动。

平抛运动的落地时间与初速度无关，仅由竖直高度决定，即t =

。平抛运动的水平位移由初速度及竖直高度决定，即x = v0 t = v0

2h 。

g

斜抛运动的特点 斜抛运动和平抛运动都是物体仅在重力作用下的运动，但斜抛运动的初速度方向不是水平方向而是沿斜向上的方向， 其轨迹是抛物线，如图(1)所示。

在“运动分解”条目中曾将斜抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和自由落体运动两个运动。

如果用正交分解的方法还可以将斜抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直向上的竖直上抛运动。其初速度分别为

vx=v0cosθ vy=v0sinθ

水平位移和竖直位移分别为

x = v cosθ·t y = v sinθ·t − 1 gt ²。

0 0 2

斜抛运动的这两种分解方法各有其优点。例如：用枪瞄准树干上的一只猴子，在子弹飞出枪口的瞬间，假设猴子恰好沿直立的树杆做自由落体运动，由第一种分解方法易于得出猴子终难逃 脱被击中的厄运；但如果要求解斜抛运动中某时间的位置坐标，以及位移、速度、射高、射程等问题，运用第二种分析方法就比第一种简单一些。如图(2)中，物体以初速度 v0 射角θ做斜抛运动，并落在斜面上的 P 点，斜面与水平面夹角为α，则射程 OP 可用正交分解的方法来求解。

设 v0 的水平分量和竖直分量分别为 vx 和 vy，则

vx=v0cosθ

vy=v0sinθ

设物体达 P 点历时为 t，由水平和竖直两个分运动可得x=scosα=v0cosα·t (1)

y = ssinα = v sinθ·t − 1 gt ²

(2)

0 2

从(1)、(2)中消去 t，可得

s cosα 1

s² cos² α

s sinα = v0 sinθ·

化简后得

−

v0 cosθ

g

1. v ² cos² θ

sgcos²α = 2v ² cosθsinθcosα - 2v ² cos²θsinα由此式解出s，即

0 0

s = 2v0 cosθ sin(θ − α)

g cos² α

v ² sin 2θ

若α = 0，该式简化为s = 0

g

度时的水平射程。

，这就是斜抛运动物体落回原高

匀速圆周运动 做圆周运动的质点，在相等的时间内通过的圆弧长度都相等的运动，做匀速圆周运动的质点其速度大小（即速率）为

v = △s

△t

式中△s 为在△t 时间间隔内质点通过的弧长。若质点运动周期为 T

（即旋转一周所用时间）则速率也可用下式计算：

v = 2πr

T

图中，圆周上有一质点做匀速圆周运动，设在△t 时间间隔内质点由A 运动到 B，AB 弦的方向就是由 A 到 B 平均速度的方向。当△t 不断减小时，B 点不断向 A 点靠近。当△t→0，则 AB 弦将变为过 A 点的切线。所以质点在 A 点的即时速度的方向就是 A 点的切线方向。

匀速圆周运动中，圆周上各点的切线方向不断变化，所以做匀速圆周运动的质点的速度方向也不断变化。因此匀速圆周运动是变速运动。角速度和线速度 做匀 0 速圆周运动的质点在△t 时间间隔所转过

的弧度数△ψ与该时间间隔△t 比值称为角速度。即

ω = △ϕ

△t

角速度的单位是弧度/秒。若用周期表达角速度，则有

ω = 2π

T

为了与角速度相对应，做圆周运动的质点的即时速度也称线速度。对匀速圆周运动，线速度的大小为

v = △s = 2πr

△t T

由以上两式消去 T 可得 v=ωr

例：图中r1 = 2r2

1

，O1A = 2 r1

，若传送皮带不打滑，则

vA∶vB∶vC=1∶2∶2 ωA∶ωB∶ωC=1∶1∶2

向心加速度 匀速圆周运动是变速运动，所以必然有加速度。由于匀速圆周运动速度大小不变，所以无切线方向的加速度，仅有改变速度方向的法向加速度。对圆周运动，法向加速度必指向圆心，故称向心加速度。

向心加速度的大小可用多种方法确定。

（一）运动合成分解法。

图(1)中，设质点以速率 v 沿顺时针方向做圆周运动，圆周半径为 r， 当从 A 运动到 B 时弦 AB 所表示的位移可看成切向位移 AC 和法向位移 CB 的矢量和。切线方向质点做匀速直线运动，法线方向可视为做初速度为零的匀加速直线运动，其加速度设为 a。

由几何关系知

AC²＝CB·CD (1)

即( vt) ² = CB·（CB＋2r）

当△t→0 时，有

CB << 2r，CB + 2r≈2r

(2)式变为

(2)

(vt) ² = CB·2r (3)

由(3)式得

2

CB = 1 v t = 1 a·t ²

2 r 2

v 2 2

即得a =

r

= ω r (4)

（二）极限法。图(2)中，做匀速圆周运动的质点在 A 点时即时速度为 vA， 在 B 点时即时速度为 vB，二者大小相等。将 vA、vB 两速度矢量平移于一起点O＇，做出速度矢量三角形。在矢量三角形中，

a = 180° − △ϕ (1)

2

当△t→0时，△ϕ→0，α→90°，△v的极限方向垂直vA 并指向圆心。

比较矢量三角形及△ABO，由相似关系知

△v = 弦AB

(2)

v r

由(2)式得

△v = 弦AB· v

r

用△t 除(3)式两端，得

(3)

△v = 弦AB · v

(4)

△t △t r

当△t→0时，(4) 式左端即为向心加速度的大小， 弦AB 即为线速

△t

度大小，故有

2

a = = ω r r

v2 2

(5)

需要指出，向心加速度公式a =

r = ω

r虽然从匀速圆周运动推

出，但也适用于非匀速圆周运动。对非匀速圆周运动，公式中的 v 应为即时线速度的大小，求得的 a 则是即时加速度的大小。

向心力 做圆周运动的质点受到指向圆心的作用力。由牛顿第二定律及向心加速度的公式可得

F = ma = mω² r =

mv²

r

同向心加速度公式的适用范围一样，该公式对做匀速圆周运动和非匀速圆周运动的质点都适用，公式中的 v 和ω应为即时值。

向心力是根据力的作用效果命名的力。它实际上是做圆周运动的质点受到的径向合力。该合力的方向不断变化但始终指向圆心。在实际问题中，向心力可以是一个力，如地球绕太阳做圆周运动的向心力是太阳对地球的吸引力；向心力也可以是某一个力的分力，如地面上的物体随地球自转而绕地轴做匀速圆周运动的向心力是地球对物体吸引力的一个分力；图(1)中，质量为 m 的小球在光滑的倒锥形桶壁上做匀速圆周运动， 它所需的向心力就是重力 G 与桶壁支持力 N 的合力。该合力的方向指向圆心 O＇（不要误认为是 O），若桶壁与竖直方向的夹角为θ，则向心力为

F = mgctgθ = mω

2 r = m v

r

由上式知，当小球速率增大时，做圆周运动的半径随之增大，小球将沿桶壁上升。

向心力公式把做圆周运动质点的运动情况与受力情况联系了起来， 如果知道受力情况当然可以确定运动情况；反之，如果知道运动情况也可确定受力情况。例如，在图(2)中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴 OO＇ 旋转，现将轻质弹簧的一端固定在圆盘中心，另一端系住一个质量为 m 的物块 A，设弹簧倔强系数为 k，弹簧原长为 l。将物块置于离圆心 R 处， R＞l，圆盘不动，物块保持静止。现使圆盘从静止开始转动，并使转速ω逐渐增大，物块 A 相对圆盘始终未滑动，当ω增大到ω=

时，物块A是否受到圆盘的静摩擦力，如果受到静摩擦力，

试确定其方向。

对物块 A，设其所受静摩擦力为零时的临界角度为ω0，此时向心力仅为弹簧弹力；若ω＞ω0，则需要较大的向心力，故需添加指向圆心的静摩擦力；若ω＜ω0，则需要较小的向心力，物块受到的静摩擦力必背离圆心。

依据向心力公式，有

mω 2 R = k（R—l）

所以ω0

= k(R - l)

mR

因已知ω =

得ω＞ω0

5k(R − l) 4mR

可见物块 A 所受静摩擦力指向圆心。

从此题可以看出，圆周运动问题仍然是物理基本定律（如牛顿定律） 的运用问题，受力分析仍然是解题的关键。

圆锥摆 在长为 l 的细绳下端拴一个质量为 m 的小物体，绳子上端固定，设法使小物体在水平圆周上以大小恒定的速度旋转，细绳就掠过圆锥表面，这就是圆锥摆，如图所示。

从图可知，小球做圆周运动的圆心是 O＇，做圆周运动的半径是 lsin θ，小球所需的向心力实际是绳子拉力 F 与重力 G 的合力。并有 F 合=mgtg θ=mω2lsinθ。由此式可得

cosθ =

g

ω ²l

这说明做圆锥运动的小球的摆线与竖直方向的夹角与摆球质量无关，与摆线长度及角速度有关。当摆长一定时，角速度越大，θ越大。

由于绳子拉力F = mg / cosθ =

的增加而增大。

mg

g / ω²l

= mω ²l。可见绳子拉力随角速度

小物体旋转一周所经历的时间叫做一个周期，若用 T 表示，则T= 2π 。从该式及cosθ = g / ω ²l中消去ω可得T = 2π

ω

该式称为圆锥摆的周期公式。在地球表面同一地点，圆锥摆的周期

与 l cosθ成正比，而与小球质量无关。若摆线l为定长，则ω越大，θ

越大，周期越小。

离心现象 做匀速圆周运动的质点受到指向圆心且大小不变的向心力作用，其向心力大小为 F=mω2R，当质点受到的向心力减小时，质点将做逐渐远离圆心的运动，若将向心力突然消失，质点将沿圆周切线方向飞出并做匀速直线运动，这种现象叫离心现象。

离心现象是由于向心力不足或向心力消失引起的。不能说是由于质点受到背离圆心的所谓“离心力”而引起的。离心力是做圆周运动的物体对迫使它做圆周运动的另一个（或几个）物体所施加的作用力，它与向心力大小相等、方向相反，相互对应。由于向心力是根据力的作用效果命名的力，它常常是几个力的合力或某一个力的分力，所以不能简单地说离心力就是向心力的反作用力。

离心现象在日常生活中随处可见，自行车或汽车转弯时若车速较大而拐弯又太猛（即圆周运动的半径太小）由于地面给轮胎的摩擦力不足以提供所需的向心力，就可能造成交通事故。利用离心现象人们制成了各种离心机械，如离心脱水机、离心水泵、离心转速计等。

开普勒三定律 德国天文学家开普勒在哥白尼地动学说的影响

下，在前人收集的大量关于行星运动的资料的基础上，经过仔细分析、整理和推算，总结出行星运动的三条运动学规律，即开普勒三定律。

第一定律（轨道定律）：一切行星都沿各自的椭圆轨道运行，太阳在该椭圆的一个焦点上。

第二定律（面积定律）：对任何一个行星，它和太阳连线在相等的时间内总是扫过相等的面积。

第三定律（周期定律）：每个行星的椭圆轨道的半长轴的立方跟公

a 3

转周期的平方的比值都相等，即 T2 = k，比值k是一个与行星无关的

恒量。行星运行的椭圆轨道与圆轨道相近，当把行星轨道近似当做圆时， 公式中的 a 即为圆半径。

开普勒确立的三定律为牛顿创立他的天体动力学理论奠定了实验基础，同时，开普勒也是最早用数学公式表达物理规律并获得成功的人之一，从他所在的时代开始，数学方程就成为表达物理规律的基本方式。万有引力定律 任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟两个

物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比，即

F = G m1 m2

r 2

式中的 G 叫做万有引力恒量，G=6．6732×1011 牛·米 2／千克 2。对该定律的理解和应用应注意：

①定律适用于计算可视为质点的二个物体之间的相互引力，r 指两个质点间的距离。若两物体是质量均匀分布的球体或各层质量均匀分布的球体，r 就是两个球心间的距离。

②地球可视为各层质量均匀分布的球体，所以地面上质量为 m 的物

体所受地球的吸引力可表示为F = F Mm ，式中M和R分别表示地球质

R2

量和半径。

③在地球表面，R 可视为定值，物体的质量不同，所受地球引力也不同，且 F∝m。从这个意义上说，质量可以作为万有引力大小的量度。所以万有引力定律涉及的质量称为引力质量。而牛顿定律中的质量称为惯性质量。实验证明，惯性质量与引力质量成正比，若选取适当的单位， 惯性质量与引力质量在数值上相等。

④天体的质量是巨大的，所以天体之间的万有引力很大，因此万有引力定律是研究天体运动的基本定律，一般质量很小的物体之间的引力十分微小，特别在研究微观粒子时，万有引力一般忽略不计。

万有引力定律的推导 地球及其它行星的公转轨道近似于圆，行星的运动可看成以太阳为中心的匀速圆周运动。设想行星做圆周运动的向心力就是太阳对行星的吸引力，若行星质量为 m，公转周期为 T，轨道半径为 r，由牛顿第二定律可得

F = ma n = mω

r 3

²r = m

4π ²r T2

(1)

从开普勒第三定律 T3 = k求出T并代入(1)式，则有

4π ²km

F = r 2

(2)

令μ=4π2k，(2)式变为

F = μ m

r 2

(3)

此式说明太阳对行星的引力与它们间的距离成反比，与该行星的质量成正比，式中的μ，各个行星都相等，它是一个与行星无关，只与太阳性质有关的常量。

进一步研究发现，卫星绕行星的运动也遵从同样的规律，这时，(3) 式中的 m 为卫星的质量，r 是卫星的轨道半径，μ则是仅由该行星决定的常量。这说明，太阳对行星（如地球）的作用力与行星对卫星（如地球对月球）的作用力属同一性质的力。

牛顿设想地球作用于地面上物体的重力也是这一性质的力。他巧妙地把地面上的重力推广到月球轨道上。月球绕地球的运动可近似看成匀速圆周运动，设月球运转周期为 T 月，月地距离为 R，则月球的向心加速度为

a月 =

4π ²

T2

R (4)

若重力也遵从平方反比规律，则月球轨道处的重力加速度 g 月与地面重力加速度 g 的比值为

g月 R 2 月

g = 2

0

(5)

牛顿时代人们已测知 R 月≈60R。地球半径 R0≈6370 公里，T≈2．36

×106 秒。将这些数据代入(4)、(5)两式，可得a 月≈g 月≈2.7×10－3 米/秒 2

这说明，地球对地面物体及月球的作用力均遵从平方反比规律，牛顿设想，地球对太阳的作用力也应如此，即

F' = μ' M

r 2

（6）

式中，M 为太阳质量，μ＇是仅由地球决定的常量。比较(3)、(6) 两式，并运用牛顿第三定律，可知

μ' M = μ m

(7)

r 2 r 2

即 μ' = μ

(8)

m M

(8)式说明该比值是一个与地球及太阳质量均无关的恒量，设该比值为 G，则有μ=GM。将μ=GM 代入(3)式，可得

F = G Mm

r 2

(9)

由于太阳对行星、行星对卫星、地球对地面物体的作用力都遵从(9) 式所表达的规律，牛顿将它做了合理的推广，即任何两个物体间都存在相互作用的吸引力，力的方向沿两物体的联线方向，力的大小与两物体质量的乘积成正比，与两物体之间的距离的平方成反比，其数学表达式

仍如(9)式所示。

天体质量的测定 地球及其它天体的质量很大，牛顿发现的万有引力定律为计算天体质量提供了可能性。

假定某天体的质量为 M，有一质量为 m 的行星（或卫星）绕该天体做圆周运动，圆周半径为 r，运行周期为 T，由于万有引力就是该星体做圆周运动的向心力，故有

4π² r ³

G Mm

r 2

4π²

m T2 r

由此式得M =

GT²

，若测知T和r则可计算出天体质量M。

例如：测知月球到地球平均距离为 r=3.84×108 米，月球绕地球转动周期 T=27.3 日=2.36×106 秒，万有引力恒量 G=6.67×10-11 牛·米 2/千克 3，将数据代入上式可求得地球质量约为 5.98×1024 千克。由于地球表面物体的重力近似等于万有引力，所以地球质量还可用下式粗算

mg＝G M地 m

R 2

由此式可得M地≈

R²g G

≈6.0×10²⁴ 千克

天体密度的测定 应用万有引力定律测出某天体质量又能测知该

天体的半径或直径，就可求出该天体的密度，即

ρ = M

V

= M 4 πR³

3

例如某登月密封舱在离月球表面 112 千米的空中沿圆形轨道绕月球运行，运行周期为 120．5 分钟，月球半径为 1740 千米，应用万有引力公式算出月球质量为

4π ²r ³

M月 =