刘徽

刘徽，淄乡（今山东邹平）人。生卒年不详，活动于公元3世纪，数学家。

刘徽自述“幼习《九章》，长再详览，观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意，是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注”。《晋书》、《隋书》之“律历志”称“魏陈留王景元四年（263）刘徽注《九章》”。《九章算术注》原10卷，第10卷“重差”为刘徽自撰自注，大约在南北朝后期单行，因其第l问为测望海岛之高、远，遂称为《海岛算经》。唐李淳风编纂《算经十书》，刘、李注《九章算术》与《海岛算经》《九章算术》圆田术及刘徽注书影并列为其中的两部。刘徽又著《九章重差图》l卷，已失传。刘徽在北宋大观三年（1109）被封为淄乡男。同时所封60余人，多依其里贯。据《汉书》“地理志”、“王子侯表”以及北宋王存《元丰九域志》所载资料考证，淄乡在今山东省邹平县境，汉淄乡侯为文帝子梁王刘武之后。

《九章算术》及刘徽前的中国数学

刘徽登上数学舞台时，面对着一分堪称丰厚而又有严重缺陷的数学遗产。其基本情况是：世界上当时最先进的十进位值制记数法和计算工具算筹在中国使用已千年左右，算筹的截面已由圆变方，长度缩短为8～9厘米，筹算四则运算法则已确立。西汉张苍、耿寿昌在先秦遗文基础上删补而成的《九章算术》集先秦到西汉中国数学知识之大成，并在东汉成为官方制造法定度量衡器所依据的数学经典。《九章算术》包括方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九部分内容，奠定了中国古代数学的基本框架；提出了近百个一般性公式、算法，确立了以计算为中心的特点；含有246个应用题，体现了数学密切联系实际的风格；确定了中国古代数学著作算法统率应用问题的基本形式。它提出了完整的分数四则运算法则，比例和比例分配法则，开平方、开立方法则，盈不足术，方程术（即线性方程组解法），正负数加减法则，若干面积、体积公式及解勾股形公式，除个别失误外，都是正确的，许多成就处于当时世界领先地位。《九章算术》之后，中国数学著述采取两种形式，一是为《九章算术》作注，一是以《九章算术》为楷模编纂新的著作。但是，《九章算术》只有术文、例题和答案，没有任何证明。汉魏时期，许多学者如马续、张衡、郑玄、刘洪、徐岳、阚泽等都研究过《九章算术》，他们的著作失传，但由刘徽《九章算术注》中“采其所见”者，可以了解其大概。数学家们力图改进圆周率值，成绩却不理想，如张衡求得π=10，可见并未找到求圆周率的正确方法。人们广泛使用出入相补方法证明几何问题。对平面图形，后人称作图验法，在直线形中，它是可靠的，但在曲线形中，却不能真正完成证明。对立体图形，后人称作菜验法。刘徽说：“说算者乃立菜三品，以效高深之积。”三品即长、宽、高均1尺的立方、堑堵（斜解立方得两堑堵）、阳马（即直角四棱锥，斜解堑堵得一阳马，及一鳖月需，即各面均为勾股形的四面体）。一般说来，验法只可用来验证标准形立体（即可分解或拼合成三品者）的体积公式，对一般情形则无能为力。人们在论证圆锥、圆亭、球等体积公式时，采用比较其底面积的方法。这是祖眍原理的最初阶段。齐同原理在数学计算中已经使用。总之，人们尽管在论证《九章算术》公式的正确性上作了可贵的努力，为刘徽采其所见准备了丰富的资料，但这些方法多属归纳论证，对《九章算术》大多难度较大的算法尚未给出严格证明，它的某些错误没有被指出。刘徽之前的数学水平没有在《九章算术》的基础上推进多少，这就给刘徽“探赜之暇，遂悟其意”，留下了驰骋的天地。自然，他的业绩主要在数学理论方面。

枝条虽分而同本干——刘徽的数学体系

刘徽的数学知识分散在《九章算术》中，好像杂乱无章，前后失次，实际上并不然。他说：“事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干知，发其一端而已。”这个端是什么呢？刘徽在谈到数学研究并不特别困难时说：“至于以法相传，亦犹规矩度量可得而共。”规、矩分别是画圆、画方的工具，表示事物的空间形式，度量指度、量、衡，表示事物的数量关系。刘徽的话表明他认为数学方法来源于空间形式和数量关系的统一，这正反映了中国古算的特色——几何与算术、代数的统一。对《九章算术》的解法进行论证是刘徽注的主题。上文所列出的论证所使用的推理都是演绎推理，因而其论证是演绎证明。事实上，整个刘徽注固然使用了大量类比与归纳推理，但在数学命题的论证上主要使用了演绎推理。据分析，刘徽注中包含了三段论、关系推理、连锁推理、假言推理、选言推理以及二难推理等演绎推理形式。刘徽推理的前提是由公认的事实抽象出来的原理及已经证明的公式，解法。当然，还必须提出许多数学定义。在中国，数学定义最初出现在先秦《墨经》中。《九章算术》却没有任何定义。刘徽继承墨家传统，提出了若干定义，如方程。“方”的本义是并船，许慎《说文解字》：“方，并船也”，亦训并。“程，课程也”，考核其标准。方程的本意是并而程之。细言之，是将一组物的各种数量关系并列起来考察诸物的标准。刘徽说：“群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。”显然是一个符合方程本义的发生性定义。刘徽关于正负数的定义：“两算得失相反，要令正负以名之。”它表明，正负是互相依存的，不再是以盈为正，以欠为负的朴素描述。根据这个定义，方程中各行系数的正负可根据消元的方便而定：“可得使头位常相与异名。”面积的定义：“凡广从相乘谓之幂。”由这个定义，可以计算曲面的面积，并且可以把与面积无关的两数相乘问题化成面积问题解决。刘徽没写出体积的定义，但遍察《九章算术》，刘徽没写注的只有53问的术文，其中52间（分别在卷二、三、八）或已注过总术，或已注过同类术，根据简约的原则，不必再注。余下没作注的便只有商功章方堡土寿（方柱体）体积公式。这不是刘徽的疏漏，而是把它看成不能证明的真理，因此可以理解为定义。刘徽着力探讨《九章算术》各公式、解法，以至数学各部分之间的关系。以体积问题为例。《九章算术》以验法为主要方法，其正确性是归纳的结果。刘徽则不然，他在用无穷小分割完成阳马与鳖月需的体积公式证明之后指出：“不有鳖月需，无以审阳马之数，不有阳马，无以知锥亭之类，功实之主也。”并且接近提出任何四面体的体积都是16abh。他将方锥、方亭、刍甍、刍童、羡除等多面体分割成长方体、堑堵、阳马、鳖月需，以证明其体积公式。刘徽的多面体理论是从长方体出发，以四面体体积公式的证明为核心，以演绎推理为主的理论体系。刘徽的其他理论都可作类似分析。总之，数学在刘徽的头脑中形成了一个独具特色的体系。它从规矩度量的统一出发，引出面积、体积、率、正负数的定义，运用齐同原理、出入相补原理、无穷小分割方法，以演绎逻辑为主要推理方法，以计算为中心，以率为纲纪。它“约而能周，通而不黩”，并且没有任何循环推理，全面地反映了到公元3世纪为止的中国人的数学知识。刘徽《九章算术注》不仅有概念，有命题，而且有联结这些概念和命题的逻辑推理。它的出现标志着中国古代数学形成了自己的理论体系。