=

n − 2

(6.15)

为变量 Y 对 X 的最小二乘回归的估计标准误差，简称估计标准误。S² 和 S

y y

可以作为诸 y 值与回归直线变差的测度。Sy 的计量单位与变量 Y 的单位相同。显然，Sy 越小表明误差越小。

例 6.5 根据表 6.1 提供的统计数字，建立某地区居民对某产品的需求量与居民收入的回归方程。

解：今需求量为因变量 Y，居民收人为自变量 X，根据表 6.1 的数据，绘制两个变量之间的散点图，如图 6.6。从图 6.6 中可以

① 由(6.8)式中 b 的计算公式可以得到

表 6.1 某地区居民对某产品的需求量和居民收入

图 6.6 某产品需求量与居民收入散点网

看出，二者之间呈线性关系，采用最小二乘法建立一无线性回归方程

Y∃ =27.9123+0.3524X

对模型进行各种检验(1)t 检验。

Σe²

17.57

因为 S² = ⁱ = = 1.255

Sb =

= 0.0055

所以 tb=b/Sb=64.2069

根据显著水平α=0.05，自由度 df=14，查 t 分布表得 t0.05/2=2.1448。由

于

tb=64.2069>t0.05/2=2.1448

表明回归系数 b 是显著的，居民收入与居民对某产品的需求量之间存在线性关系。

1. F 检验。

因为 SSR = Σ(y∃i - y) = 5173.78

2

SSE = Σ(y − y∃ ) ² = 17.57

i i

所以 F = 5173.78 / 1 = 4122.53

17.57 / 14

根据显著水平 α=0.05 ， df1=1 ， df2=14 ，查 F 分布表得到F0.05(1,14)=4.60。由于

F=4122.53>F0.05(1,14)=4.60

表明回归方程的 F 检验通过，回归方程的回归效果显著。

可以验证：F=t²，Fα＝tα/2，所以在一元线性回归中，F 检验与 t 检验的结果相同。

1. D.W 检验。用公式(6.11)可以计算得到残差序列的 d 统计量：d＝

0.68。根据显著性水平α=0.05，自变量个数 1，样本数据个数 16，查 D.W 表得到：di=1.10,du=1.37。由于

0<d=0.68<di=1.10

D.W 检验未通过，残差序列存在正自相关。

1. 拟合程度测定。

r 2 = SSR = 5173.78 = 0.9966

SST 5191.35

r² 值很接近于 1，表明回归直线对样本数据点的拟合程度很高。

1. 估计标准误差。由前面的计算知 Sy＝1.2550，表明回归标准误差较小。

结论：该回归模型虽然其他检验都已通过，担 D.W 检验没有通过，表明

残差序列存在正自相关，前面应用最小二乘法的结果中S² 可能低估了真正的

σ²，因而 t 检验、F 检验不再有效。这种情况下，应分析查找残差序列自相关的原因，并采取相应措施加以解决，以建立更适宜的回归方程。

一般来说，导致残差序列自相关的原因有以下三种。(1)选择的数学模型不合适，变量间不是线性关系而建立了线性模型。这种情况应进一步选择合适的模型；(2)模型中包含的自变量数目不合适，或是遗漏了某些重要的影响因素，或是包含了不必要的影响因素；(3)序列中包含有很强的趋势分量。通常可以采用迭代法或差分法进行补救。由于经济的时间序列常常有自相关现象，因此在计量经济学教科书中都有较详细的讨论。

§6.2.4 利用回归方程进行预测

利用变量 Y 与 X 的 n 对样本数据建立的回归方程

Y∃ = a + bX (6.16)

如果通过了上述的各种检验，即可用来预测。所谓预测问题，就是在确定自变量的某一个 X0 值时求相应的因变量 Y 的估计值，其中又可以分为点预测和区间预测。

1. 点预测。将自变量的预测值 X0 代人回归模型(6.16)式所得到的因变量

Y 的值Y∃ ，作为与 X 相对应的 Y 的预测，就是点预测。可以证明Y∃ 是无偏

0 0 0 0

预测。

1. 区间预测。对于与 X0 相对应的值 Y0，Y∃ ＝a＋bX 可以作为 Y0＝α+βX+ε

的一个点估计值。但不同的样本会得到不同的ａ、ｂ，因此，Y∃ 与 Y

之间总

0 0

存在一定的抽样误差。在回归模型的假设条件下，可以证明( Y∃ -Y ) ～

0 0

1 (x − x)²

N[0,σ²(1+

• 0 ) \]，因此，Y 的慨率为 1-a 的预测区间为

2 0

n Σ(xi − x)

∃

Y0 ± t a/2 ·σ·

当 x0 取值在x 附近，n 又比较大时，可以近似地认为( Y∃ -Y )～N(0，

0 0

S² )。因而 Y 的概率为 1-ａ的预测区间为

y 0

Y∃ ±t ·S

0 a/2 y

实际应用时，常常采用这一区间作为因变量 Y 相对应于自变量 X0 的回归预测区间。当ａ=0.05 时，Y0 的 95％预测区间为若ａ=0.01，则 Y0 的 99％预测区间为

Y∃ ±2S

0 y

若 a=0.01，则 Y0 的 99%预测区间为

Y∃ ±3S

0 y

以上是对利用回归方程进行预测方法的介绍。下面，以一个完整的例子加以说明。

例 6.6 根据表 6.2 提供的数据，分析预测 1981 年到 1985 年我国国民收入以 4.5％的速度递增，钢材消费量将达到的水平。

解：令钢材消费量为因变量 Y，国民收人为自变量 X，根据表 6.2 的数据绘制散点图，如图 6.7。从图可以看出，变量 Y 与 X 之间呈线性关系。利用最小二乘法建立一元线性回归方程

Y∃ ＝-460.5282＋0.9840X

表 6.2 我国钢材消费量与国民收入*

* 国民收入按 1975 年价格计算

图 6.7 钢材消费量与国民收入散点图对模型进行各种检验。

1. t 检验。经计算得S² 18348.9240，由此可得

Sb＝0.0497，因而 tb=b/Sb=0.9840/0.0497=19.78 根据显著性水平ａ＝ 0.05，df＝15，查 t 分布表得 t0.05/2＝2.1310。由于

tb=19.78>F0.05/2=2.1310

所以，回归系数 b 的 t 检验通过，表明回归系数 b 是显著的，变量国民收入能够解释变量钢材消费量的变化。

1. F 检验。计算回归方程的 f 值为 F＝391.27。根据显著性水平ａ=0.05，

   df1=1,df2=15，查 F 分布表得 F0.05(1，15)＝4.54。由于

F=391>F0.05(1,15)=4.54

所以 F 检验通过，表明回归方程的回归效果显著。

1. D.W 检验。计算 d

   统计量：d＝2.0326。根据ａ＝0。05，自变量个数1，样本数据个数 17，查 D.W 表得 du ＝1.38。由于 du=1.38<d=2.0326<4- du=2.62，所以 D，w 检验通过，表明残差序列无自相关。

2. 其他检验。r²＝0.9631，接近千

   1，表明回归直线对样本数据点的拟合程度很高。

Sy＝135.4582，虽然并不接近于 0，但其与因变量样本数据平均值y ＝

1585.4710 的比值为：Sy/ y =0.0854，小于 10％，可以认为比较小。

上述分析说明，回归方程通过了各种统计检验，可以用来表述钢材消费量和国民收入之间的回归关系。

预测：

若 1981 年至 1985 年国民收入以 4.5％的速度递增，利用回归方程可以得到相应的钢材消费量点预测值及 95％的预测区间，如表 6.3。

利用变量 Y 与 X 的样本数据建立的回归方程能否用于预测，除了需要通过各种统计检验外，还应考虑变量之间结构关系的稳定性。若变量间的结构关 系 比 较 稳 定 ， 这 种 关 系 又 能 保 持 到 预 测

表 6.3 钢材消费量的预测结果

期，那么回归方程用于预测是适宜的。否则，应慎重使用。建立回归预测方程时，样本数据不宜过少，因为小样本也许不能真实反映变量之间的结构关系。

§6.2.5 可化为线性的回归

现实的社会经济现象之间并不都呈线性关系，更多的是非线性的，如图

1. 所示的单机成本与产量的关系。这些非线性的统计关系，往往也可以配合适宜的曲线模型，但非线性回归不能进行上述的检验和推断，因为那是建立在线性统计模型基础上的。许多非线性回归模型经过适当变换，可以转化为线性回归模型的形式。通常采用的能化为线性回归的曲线模型有

   1. 幂函数曲线

   2. 双曲线

Y∃ = aX ^b

Y∃ = a + b

X

或

1 = a + b Y∃  X

1. 指数曲线

或

1. 对数曲线

2. S 曲线

Y∃ = ae^bX

b

Y∃ = ae x

Y∃ = a + b ln X

Y∃ =

1

a + be^−x

表 6.4 是上述曲线模型的函数变换表。根馅变换以后的线性模型，可以采用最小二乘法确定回归曲线中相应的参数值。

回归曲线可以根据专业知识(理论上的推导或积累的实际经验)选择，也可以将有关样本数据点绘制成相关散点图，根据其分布形状和特点选择。为了判断回归曲线的选择是否合适，可以将变换后的因变量和自变量数据绘制成散点图，如果所有的点集中在一条直线附近，表明回归曲线的选择是恰当的。否则，应调整回归曲线模型。

例 6.7 分析某企业电视机单机成本与月产量之间的回归关系，有关数据如表 6.5。

解：根据生产实际考虑，一般单位成本与产量之间成反比例关系。将表

1. 的数据绘制成散点图，如图 6.3。由图 6.3 可以看出，电视机单机成本与月产量的关系大致呈双曲线形式(双曲线的一支)，因而可以考虑建立回归曲线

Y∃ = a + b

X

根据表 6.4 提供的变换，可以得到新方程

Y’=a+bX’

式中： X' = 1 。变换后的数据绘制的散点图如图 6.8。由图 6.8 可以看出，

X

Y’与 X’基本呈线性关系，表明建立双曲线回归模型合适。用最小二乘法估计参数，得到月产量与单机成本之间的回归方程Y∃ = 250.7848 + 355457.05 1

X

表 6.4 常见曲线的函数变换表

表 6.5 单机成本与月产量

图 6.8 变换后的单机成本与月产量散点图

§6.3 多元线性回归

一元线性回归将影响因变量的自变量限制为一个，这在现实的大量社会经济现象中并不易做到。因而，实际应用回归分析法时，常需要有更一般的模型，把两个或更多个解释变量的影响分别估计在内。这就是多元回归亦称多重回归。当影响因素与因变量之间是线性关系时，所进行的回归分析就是多元线性回归。

§6.3.1 多元线性回归的数学模型

当影响变量 Y 的主要因素有 k 个时，可以建立起的总体回归模型为Y=β0+β1X1+β2X2+⋯+βkXk+ε (6.17)

这是 Y 对 X1，X2，⋯，Xk 的多元回归，也称多重回归或复回归。β1,β2,⋯,βk 称为偏回归系数。

模型的基本假设大致与一元线性回归模型相同，只是自变量 X1,X2,⋯,Xk

之间不能有较强的线性关系。

利用变量 Y 与 X 的 n 组样本数据，依照一定准则，可以得到回归系数

β0,β1,⋯,βk 的估计值 b0,b1,⋯,bk；建立起样本回归模型

Y = b0 + b1 X + b2 X 2 + + bk Xk + e (6.18)

相应的多元线性回归方程为

Y∃ =b0+b1X1+b2X2+⋯+bkXk (6.19)

§6.3.2 参数的最小二乘估计

(6.17)式中参数β0,β1,⋯,βk 可以利用变量 Y 与 X1，X2,⋯Xk 的 n 组样本数据，依照最小二乘准则得到，它们可以采用求解正规方程组

计算得到。

式中： Q = Σ(y

• y∃ ) ² ； y 是因变量的观测值， y∃ 是(6.19)式中的回归值。

i i i i

当自变量的数目 k 较大时，求解正规方程组(6.20)式很复杂，需应用电子计算机，因而通常将多元线性回归模型表述为矩阵形式。令

y₁ 

y 

 Μ

b₀ 

b 

 Μ

e₁ 

e 

 Μ

 

 n 

 

 k 

 

 n 

1 x11

x12

x1k 

1 x x x 

X = 

21 22 2 k 

Μ Μ Μ Μ

1

xn1

xn2

xnk 

则(6.18)式可以写成矩阵形式

Y=XB+e

依据最小二乘准则，回归系数阵 B 为

B=(X'X)^-1X'Y① (6.22)

① 由于 e2=e'e=(Y-XB)'(Y-XB)=(Y'-B'X')(Y-XB)=Y'Y-B'X'Y-Y'XB+B'X'XB=Y'Y-2B'X'Y+B'XB 推导过程

中，由于 B’X’Y 与 Y’XB 均为秩是 1×1 的矩阵，且有(B’X’Y)’=Y’XB, 所以 Y’XB=B’X’Y 由此得 整理得到

式中：X’是矩阵 X 的转置阵；(X’X)^-1 是(X’X)阵的逆阵。

由最小二乘准则得到的回归系数bj(j=1,2,⋯,k)表明在其他自变量保持不变的情况下，自变量 Xj(j=1,2,⋯,k)变动一个单位所引起的因变量 Y 的平均变动量。

§6.3.3 模型的检验

多元线性回归模型与一元线性回归模型一样，得到参数的最小二乘估计值后，对模型是否满足基本假设条件也需要进行检验。

1. 回归系数的显著性检验。多元线性回归中，需要对每个回归系数的显著性进行检验，以便使模型中只保留那些对因变量有显著影响的因素。其步骤同一元线性回归，只是查 t 分布表时，自由度应是 n-k-1。

回归参数的 t 检验通不过，可能是与这个系数相应的自变量对因变量的影响不显著所致，也可能是自变量之间有共线性所致②。若自变量不是影响因变量的显著因素，应从回归模型中剔除；若自变量间有共线性，应设法消除共线性。

1. 回归方程的显著性检验。在一元线性回归中，回归系数的显著性检验(t 检验)与回归方程的显著性检验(F 检验)是等价的，但在多元线性回归中， 这个等价不再成立。t 检验是分别检验回归模型中各个系数的显著性，而 F 检验则检验整个回归关系的显著性，即

原 假 设 H0：β1=β2=⋯=βk=0

对立假设 H1：βj 不同时为 0 j=1,2,⋯,k 计算 F 统计量

Σ(y∃- y) ² / k

F = Σ(y - y∃)² / n − k − 1

(6.23)

根据给定的显著性水平ａ，自由度 df1=k,df2=n-k-1，查 F 分布表，得到相应的临界值 Fa。若

F＞Fa

拒绝 H0，可以认为回归方程有显著的意义，回归方程回归效果显著。若

F≤Fa

则不能拒绝 H0，回归方程无显著意义，回归方程回归效果不显著。

3。拟合程度的测定。与一元线性回归中可决系数 r² 相对应，多无线性回归中有多重可决系数 R²。它计量了在因变量的变动中，由回归关系解释的变动所占的比重。R² 与 r² 一样，定义为

R² =

Σ(y∃− y)²

Σ(y − y)²

= 1 −

Σ(y − y∃) ²

Σ(y − y) ²

(6.24)

R² 是样本回归线对样本数据点拟合程度的测度，但它受回归方程中引进自变量数目多少的影响，与因变量有关的因素引进越多，R² 越接近于 1。但这样做，不仅加大计算工作量，还会引起自变量间的共线性。为消除自变量数目对 R² 的影响，常采用调整的(修正的)R²，调整的 R² 被定义为

X’XB=X’Y

② 自变量之间有较强的线性关系，如自变量 X1 与 X2 之间可表述为：X1=0.25X2，则称自变量有共线性。

R² = 1 −

R² 与R² 有如下的关系

Σ(y − y∃) ² / n − k − 1

Σ(y − y) ² / n − 1

(6.25)

R² = 1 − (1 − R² )

n − 1 n − k − 1

(6.26)

多无线性回归中也应进行 D。W 检验井考察回归的估计标准误差，这与一

元线性回归中所讲述的没有差别，放不再赘述。

§6.3.4 应用举例

例 6.8 利用表 6.6 提供的数据，考察火柴销售量与各影响因素之间的回归关系。

解：令人柴销售量为因变量 Y，煤气、液化气户效，卷烟销量，蚊香销量，打火石销量分别为自变量 X1,X2,X3,X4。根据表 6.6 的数字，通过有关统计软件，采用最小二乘法估计参数。得到关于火柴销售量的四元线性回归方程

Y∃ = 17.3973 + 0.0503X + 0.2551X − 0.0040X − 0.2432X

1 2 3 4

(2.4002)(11.9004)(−0.1162)(−19.5454)

式中：每个回归系数下面括号中的数值是与其相应的 t 值。可以看出，其中

|tb |=0.1162<2，根据经验①可知，回归系数 b 的 t 检验未通过，且 b 的符号与其实际经济意义相反。蚊香销量增加，火柴销量相应地应该增加，b3 应为正数。变量调 X3 在这种情况下引人回归方程是不合适的。剔除 X3。用其余三个变量建立 Y 的回归方程得

对模型进行各种检验。

1. 回归系数的显著性检验。根据显著性水平ａ=0.05，df=15-3-1=11，查t 分布表，得 t0.05/2=2.2010，通过在电子计算机上运用统计软件处理得到

tb1=3.5164>t0.05/2=2.2010 tb2=13.2278>t0.05/2=2.2010

|tb3|=20.5262>t0.05/2=2.2010

表明三个回归系数的 t 检验均通过，所选择的自变量是影响火柴销售量的主要因素。

1. 回归方程的显著性检验。通过电子计算机处理得 F＝645.4824，根据显著性水平ａ=0.05，df1=3，df2＝11，查 F 分布表得 F0.05(3，11)=3.59，因为

F=645.4824>F0.05=3.59

所以，F 检验通过，表明回归方程的回归效果显著。

3.D.W 检验。计算残差序列 d 统计量得 d＝2.0661，根据显著性水平ａ

=0.05，样本数据个数 n＝15，自变量个数 k＝3，查 D.W 表得 dl＝0.82，du

＝1.75。由于 du＝1.75＜d＝2.0661＜4-du=2.25，D.W 检验通过，表明残差序列无自相关。

① 经验规则，一般取 t0.05/2=2 来判断。

4.拟合程度测定。计算得到 R²＝0.9944， R² ＝0.928，接近于 1，表明回归线对样本数据点的拟合程度很高。

5.回归标准误差。计算得到的回归估计标准误差 Sy=0.4178，表明估计标准误差很小。

结论：回归方程通过了模型的所有统计检验，表明以煤气、液化气户数，

卷烟销售量，打火石销售量来解释说明火柴销售量的变化是适宜的，所建立的回归方程表述了这种回归关系。

习 题

1. 某市电子工业公司有 14 个所属企业，各企业年设备能力与年劳动生产率统计数据如表 1。试分析企业年设备能力与年劳动生产率的关系。若该公司计划新建一个设备能力为 9.2 千瓦/人的企业，估计劳动生产率将为多少。

表 1

1. 对某市的百货商店进行抽佯调查，其中被抽查的 10 家商店职工月平均销售额和利润率的数字如表 2。试分析两个变量间存在的关系，并建立利润率对销售额的回归方程。

表 2

1. 某广告公司对购买该公司广告劳动的日用化工厂作随机调查。调查内容一是作广告后一年内销售额比这以前 12 个月销售额的增长率，二是广告作出后第 3 个月末顾客中知道广告商品的人数比率(商品知悉率)。8 家被调查厂家的有关资料如表 3。试确定商品知悉率为 20％时，销售额增长率平均水平的 95％置信区间。

表 3

1. 某公司的决策者通过反复调查分析认为，影响该公司总销售额的因素主要有：人均生活费收入、商品价格、投资额和广告费用。根据每半年一期的统计，有关数据如表 4。试分析评价总销售额对四个变量的回归方程。

2. 对经营同一类产品出口业务的公司进行抽样调查，被抽查的 13 家公司，其出口换汇成本与商品流转费用率资料如表 5。试分析两个变量之间的关系，并估计某家公司商品流转费用率是 6.50％的出口换汇成本。

第 7 章 时间序列与指数

§7.1 时间序列的分析指标

反映社会经济现象的数据大部分是按时间顺序记录下来的，这些各期记录的观察值的序列就叫做时间序列。如 1983 年 1 月—1988 年 12 月各月的工业总产值，

1978 年—1989 年每年的粮食产量等。对时间序列进行分析的目的是描述时间序列的过去行为，分析这种行为，从而进一步预计未来的情况。对时间序列过去行为的描述可以采用一系列动态分析指标，如平均发展水平、平均发展速度。

§7.1.1 发展水平和平均发展水平

发展水平是时间序列中原有的统计指标数值，它通常用符号 a 表示。a0,a1,⋯,an 是序列各个时期(或时点)的发展水平，其中 a0 是最初水平，an 是最末水平，中间各项是中间各时期(或各时点)的水平。若有 1983 年 1 月到

1988 年 12 月我国工业总产值的时间序列，那么，1983 年 1 月工业总产值是序列的最初水平，1988 年 12 月的工业总产值是序列的最末水平。在研究某一时期的发展水平时，常把研究的那个时间的发展水平称作报告期水平或计算期水平，用来作为比较基础的时间的发展水平称为基期水平。如对比 1988

年 12 月与 1983 年 12 月的工业总产值，则 1988 年 12 月的工业总产值是报告期水平，1983 年 12 月为基期水平。基期和报舍期是随对比的时间而确定。平均发展水平是把不同时间的发展水平加以平均所得到的平均数，统计

上称为序时平均数。它将社会经济现象在不同时间上的数量差异抽象化，从动态上反映现象在一段时间的一般发展水平。序时平均数在时间序列的动态分析中，可以用来修匀序列，消除现象在短时间内的波动，使序列能更明显地反映出现象的发展变化趋势。序时平均数还广泛用来对比不同单位、不同地区、不同部门以至不同国家在某一时间内现象发展的一般水平。

序时平均数因时间序列指标性质的不同而有几种计算公式。

若时间序列反映的是一个时期指标在各个时期的发展水平，那么计算序时平均数可以采用下面公式：

a = a1 + a2 + + a n

n

= Σai

n

(7.1)

式中：a 是序时平均数；ai(i=1,2,⋯,n)是各个时期的发展水平；n 是时期数目。

用(7.1)式可以计算 1983 年至 1988 年的年平均工业总产值，1989 年 1

月至 12 月的月平均工资等。若序列表现的是某一时点指标在不同时期的发展水平，则当整个研究期的各个时点数据齐备时，也可以采用上式。如某工厂利用 1989 年 10 月份各日的工人人数，求 10 月份的平均工人数；某商店利用

8 月份每日的商品库存额，计算该月商品平均库存额等。

若时间序列反映某一时点指标在不同时期的发展水平，而时点数据资料不齐备，因而不连续，但时点的时间间隔相等时，可以采用下列公式计算序时平均数。

1 a + a + + a 1

2 1 2 n-1 + 2 a n

a n - 1 (7.2)

式中各符号意义同(7.1)式。

例 7.1 某工厂职工人数资料如表 7.1，试计算第二季度的平均职工人数。

表 7.1 第二季度职工人数 (单位：人)

解：假设职工人数在两个时点之间的变动是均匀的(因为表 7.1 提供的数据可认为时点间的间隔是相等的)，故采用(7.2)式计算第二季度平均职工人数：

1 × 2040 + 2035 + 2045 1

2058

a = 2

4 − 1

+ 2 ×

= 2043(人)

该厂第二季度平均职工人数为 2043 人。

若时间序列反映某一时点指标在不同时期的发展水平，而掌握的时点数据资料的时间间隔不相等，则需以时间间隔长度 f 为权数，采用下列公式计算序时平均数。

( a1 + a2 ) × f

a = 2 1

+ ( a 2 + a 3 ) × f

2 2

n−1

+ + ( a n −1 + a n ) × f

2

n −1

(7.3)

∑fi i=1

例 7.2 某商店 1988 年商品库存额资料如表 7.2。试计算全年平均库存额。

表 7.2 商品库存额数据 （单位：万元）

解：假定商品库存额在两个时点之间的变动是均匀的，由于时点数据资料的时间间隔不等，故采用(7.3)式求年平均库存额。

5.2 + 3.6

( 2

) × 3 + (

3.6 + 3.0

2

) × 2 +

( 3.0 + 4.2 ) × 4 + ( 4.2 + 5.6) × 3

a = 2 2

12

= 4.075

该商店 1988 年商品平均库存额为 4.075 万元。

§7.1.2 发展速度和平均发展速度

发展速度是时间序列中两个时期发展水平的比，即发展速度＝报告期水平/基期水平

它是用来研究社会经济现象发展程度的相对指标，说明报告期水平已发展到基期水平的若干倍或百分之几。由于计算发展速度时采用的基期不同，发展速度可分为定基与环比两种。

定基发展速度是以各个报告期水平同某一固定基期发展水平之比。若以a0 表示固定基期，则定基发展速度为

a1 , a 2 , , a n -1 , a n

(7.4)

a0 a 0 a 0 a0

定基发展速度用来说明被研究现象在一定时期内总的发展情况。

环比发展速度是用各报告期水平同前一期水平相比。若时间序列是： a0,a1,a2,⋯,an,那么，环比发展速度为

a1 , a 2 , a 3 , , a n-1 , a n

(7.5)

a 0 a1 a2

a n-2

a n-1

环比发展速度用来说明被研究现象逐期发展变化的情况。

表 7.3 是某企业 1984 年到 1988 年工业生产的发展情况。从(7.4)式和

(7.5)式以及表 7.3 提供的数据可以看出，定基发展速度和环比发展速度虽然各说明不同的问题，但它们之间存在一定的数量关系，即

表 7.3 某企业工业生产发展情况 （单位：万元）

a n = a1 × a2

× a 3 × × a n

(7.6)

a0 a 0

a1 a 2

a n−1

(7.6)式表明定基发展速度等于相应的各环比发展速度的连乘积。利用(7.6) 式二者之间的关系，可以进行相互间的推算。

发展速度不仅表明社会经济现象发展的程度，还表明其发展的方向。若发展速度大于 1 即大于 100％，说明现象是上升的发展趋势；着小于 1 即小于 100％，说明现象是下降的发展趋势。

平均发展速度是某一段时间内，各时期环比发展速度的平均数，用以说明现象在这段时间内逐年平均发展变化的程度。由于社会经济现象在各个时期所处的条件及影响其变化的因素不同，因而各时期的发展速度有差别，平均发展速度通过对各个时期发展速度的平均，消除了差别，便于对不同时期社会经济现象的发展变化情况进行对比。它是编制计划的依据，也常是进行各种推算和预测的依据。

平均发展速度依据速度指标的特性采用不同的方法计算，常采用的有几何平均法和方程法两种。

1. 几何平均法即水平法。若以 x1，x2，⋯，xn 分别表示各期的环比发展

速度，则这段时间年的平均发展速度x 为

x = = (7.7)

根据(7.6)式可知，平均发展速度x 也可为

x =

(7.8)

(7.8)式表明，几何平均法的平均发展速度，实际上只与时间序列的最初水平 a0 和最末水平 an 有关。当最初水平 a0 作为比较的基期时，平均发展速度的大小只取决于最末水平 an，而与时间序列中间各时期的水平无关。因此，它无法反映序列中间各时期水平的发展变化。

利用表 7.3 提供的统计数字，可以计算 1984 年到 1988 年间某企业工业总产值的平均发展速度。根据(7.7)式计算

x =