y = 4

z = 84

鸡兔同笼

中国古代的《孙子算经》（公元 280～420 年）一书中，收集了不少算术趣题，“鸡兔同笼”问题是其中之一。原题为：今有鸡（雉）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡、兔几何？

原书的解法是：设头数为a，足数为b，则 b − a是兔数，a - （ b − a）

2 2

是鸡数，这个方法很巧妙。可能是这样思考的：由鸡兔头数和为 a，而足数之和为 b，则有：

鸡 + 兔 = a ①

2·鸡 + 4·兔 = b ②

1 b

这其实是一个二元一次方程组，由 2 ×②—①得：兔 = 2 − a，代入①得：

鸡 = a − （ b − a）。由此解得：兔 = 12只，鸡 = 23只。2

我们还可以这样考虑：假设笼里全是兔子，则共有 4 × 35= 140 条腿，

但实际只有 94 条腿，多了 140—94= 46 条腿，这是由于把鸡假设为兔子，使每鸡多了两条腿造成的，所以应该为： 46÷（4－2）= 23（只），兔为 35

—23= 12（只）。

韩信点兵

大凡著名的军事家都是精通数学的。“韩信点兵”的故事就是源出于我国古代《孙子算经》。让我们来欣赏这位将军的智慧：

一日，韩信到前沿检阅一队士兵。这队士兵人数众多，无法一一点清， 况且兵贵神速，时间是军队的生命，不能迟迟不决。韩信立即令队伍整队， 排成每列 5 人的纵队，最后多余 1 人；接着又命令改成 6 人一列的纵队，最

后多余 5 人；然后又变换队形，变成每列 7 人的纵队，最后多余 4 人；最后，

下令排成每列 11 人的纵队，最后多余 10 人。操练完毕，韩信不仅了解了这队士兵的军事素质，而且全队士兵的人数也在不知不觉中了如指掌了。

难道他真有神机妙算的本领吗？

这就是著名的“孙子定理”，也是驰名中外的“中国余数定理”。它是这样分析的：

首先，求 5、6、7、11 的最小公倍数： Ｍ=5×6×7×11=2310

求得Ｍ对于每个因数的商数：

a1 =

2310

5

= 462

a = 2310 = 385

2 6

a = 2310 = 330

3 7

2310

a4 = 11 210

以各自的商数为基础，求得余 1 的情况：

3× 462 = 1386 = 277 余1

5 5

385 = 64 余1

6

330 = 47 余1

7

210 = 19 余1

11

再以实际上各项的余数代进去，得到x0=1×3×462＋5×385＋4×330＋10×210=6731

由此，6731 是符合题意中的各项余数的，但这并不是最小的解，因为 2310

能被各项都整除，所以要减去 2310 的倍数。x1=6731—2×2310=2111

2111 为最小的解。但由于这是解不定方程，可以有无数的解，其通解的形式应该为

X2=2111＋2310k（其中 k = 0，1，2⋯⋯）

幻方与数阵

将ｌ～9 这 9 个数字填在图Ａ中的九个方格里，使每一横行、每一纵列和两个对角线上的数字之和相等。首先我们注意到 1 十 2＋3 十 4 十 5 十 6 十 7＋8＋9= 45。而①＋②十③十④＋⑤＋⑥十⑦＋⑧十⑨= 45，因此，①

＋②＋③= ④＋⑤十⑥= ⑦十⑧十⑨= 幻和，那么应该有：幻和 × 3= 45， 幻和= 45÷3= 15。又，①十⑤十⑨＋③＋⑤十⑦+ ④十⑤＋⑥十②＋⑤+ ⑧

= 15× 4= 60，也就是①十②＋③＋④十⑤十⑥＋⑦＋⑧十⑨+3×⑤= 60，所以，45＋3×⑤= 60，⑤=5，即

中间的数应当为 5，其他位置上的数，如果①填奇数，因为①十⑨= 10， 所以⑨也是奇数。④、⑦同奇或同偶，当④、⑦同为奇数时，⑧和⑥也应是奇数。因此共有 6 个奇数，又因ｌ～9 只有 5 个奇数，发生矛盾。当④、⑦ 同偶时，⑧与⑥也应为偶数，③也应为偶数，这样共有 5 个偶数，也与 1～9 只有 4 个偶数矛盾。因此①是偶数，同理③、⑦、⑨也都是偶数。又①＋⑨=

③+⑦ = 10，于是就得到所求解。如左图。

伐木人的争论

伊格纳托夫是前苏联著名的科普作家，他一生写下了许多题材新颖、内容丰富、形式活泼的作品。伐木人的争论是其作品中的一道题。

尼基塔和巴维尔是两个伐木人。有一天，两人干完活正准备吃饭，迎面走来一个猎人：“你们好啊，兄弟们！我在森林里迷了路，离村庄又远，饿得心慌，请分给我一些吃的吧！”

“行啊，行啊，你坐下吧！尼基塔有 4 张饼，我有 7 张饼，咱们在一起凑合着吃吧。”巴维尔热情地说。尼基塔也随声附和着。于是三人平均分吃了 11 张饼。吃过饭，猎人摸出 11 个戈比，说道：“请别见怪，我身上只有这些钱了，你俩商量着分吧！”

猎人走后，两个伐木人争论起来。尼基塔说：“我看这钱应该平分！” 巴维尔反驳说：“11 张饼的钱是 11 个戈比，正好是 1 张饼 1 个戈比，你应

得 4 个，我应得 7 个！”

他们俩的算法，谁的对呢？显然尼基塔的算法是错的，两人带的饼的数目不同，当然分得的钱也应不同。再看巴维尔的算法：11 张饼，11 个戈比， 每张饼 1 个戈比，看起来非常合理，如果问题是“猎人用 11 个戈比买了 11

张饼”，那么巴维尔的算法的确是正确的。可问题是“3 个人平均分吃了 11 张饼，并且尼基塔和巴维尔带的饼又不一样多。”实际上，11 张饼平均分给

3个人，就是说，每人吃了

11

3 张饼。尼基塔有4张饼，自己吃了

11

3 张饼，他

给猎人吃了4 − 11 = 1 张。而巴维尔也吃了 11 张，他分给猎人7 - 11 = 10 张。

3 3 3 3 3

11 1

猎人吃了

3 张饼，付给11个戈比，也就是说，每吃 3 张 饼猎人付给一

1

个戈比。他吃了尼基塔 3 张饼，故尼基塔应得1戈比，他吃了巴维尔

巴维尔应得10戈比。两个人的算法都错了。

10 张饼，

3

36 名军官问题

设有 6 种军衔和来自 6 个团的 36 名军官，能不能把他们排成 6×6 的队

列，使得每行每列里都有每种军衔的 1 名军官和每个团的 1 名军官呢？

这是 18 世纪瑞士数学家欧拉提出的一个趣味数学问题。它在统计学，尤其是在试验设计中有重要的影啊。

为了易于说明，我们先考虑有 3 种军衔和来自 3 个团的 9 名军官。用 1、

2、3 分别表示 3 种军衔，Ｉ、Ⅱ、Ⅲ表示 3 个不同的团，这时，相应的问题的解答是：

上面军衔阵列和团阵列分别是由 3 个不同符号构成的 3 行 3 列的阵列（3

×3），其中每个符号在每行与每列恰好只出现一次，我们把这种阵列叫 3

阶拉丁方。而并置阵列中 3² 个有序对都是不同的（即并置后，所有可能的 9 种情况都出现了），称军衔阵列和团阵列是正交拉丁方。

那么，36 名军官问题就成了：是否存在 6 阶正交拉丁方呢？欧拉曾猜想， 阶数为 4ｋ＋2（ｋ是正整数）的拉丁方，任何两个同阶的拉丁方都不是正交的。容易证明 2 阶拉丁方不正交。1901 年法国数学家Ｔａｒｒｙ用穷举法证明了不存在 6 阶正交拉丁方。直到 1959 年才有 3 位统计学家终于证明了，除

了 2 阶和 6 阶外，其他情况都有解。欧拉的猜想中，除这两种情况外，其余都猜错了。

龟和鹤

龟和鹤都是长寿的动物。一天鹤爹与鹤子遇见了龟祖和龟孙，彼此谈起了年龄。原来鹤爹的年龄是鹤子年龄的 2 倍，龟祖的年龄是龟孙年龄的 5 倍。

它们年龄之和如果乘上 3，等于 900 岁。如果再过 10 年，鹤族年龄的 5 倍加

上龟族的年龄也是 900 岁。问现在它们的年龄各是多少？

解答：设鹤子现在的年龄是 x，龟孙现在的年龄是 y 。则鹤爹现年为 2x， 龟祖现年 5y，有方程：

3［（2x 十 x）＋（5y 十 y）]=900

10 年以后，鹤子、鹤爹的年龄分别为Ｘ＋10 和 2x＋10，龟孙、龟祖的年龄分别为 y＋10 和 5y 十 10，于是又有方程，

5[（x＋10）十（2x+10）]

十（y＋10）十（5y＋10）=900 联立两个方程，简化为：

解得：

x + 2y = 100

5x + 2y = 260

x = 40

y = 30

因此，鹤子现年 40 岁，鹤爹现年 80 岁，龟孙现年 30 岁，龟祖现年 150 岁。

乘车者的常识

有一个乘车者经常坐从东郊到西郊的公共汽车。一天，他嫌车太挤，就沿着公共汽车行车路线走。这时，他发现对面来的公共汽车每隔 6 分钟遇见

一次，而背后开来的公共汽车每隔 12 分钟超过他一次。他心算了一下，就知道，这条路线上的公共汽车是隔多少分钟发车一次了。你也能算出来吗？

解答：假设公共汽车的速度是 y，人的走路速度是 x，又设两次发车间隔时间里，公共汽车行驶的路程为 S。

那么，在迎面见到公共汽车的情况下，每经过S距离的时间是t1 = 6分钟，

S

并且 x + y = t 2 。

同样，在相同方向的情况下，每经过s距离的时间是t 2 = 12分钟，并且

S

x + y = t 2 。解联立方程组：

S

S

x + y

= t

= t1 ①

②

将①化简为：

y − x ²

1. y 1

将②化简为：

S + S = t 1 ③

1. x 1

S − S = t ④

2 y 1 1

③、④相加：

S = t + t

∴ S =

y

1 2

2 t 1 t 2

t 1 + t 2

∵ t 1 = 6 , t 2

S

= 12

∴ y = 8

S

因为 y 正是每段间隔中所需的时间，即发车的间隔时间，所以每两个车

发车时间相隔8分钟。

陈省身数学奖

陈省身数学奖为我国数学界最高奖，授予做出突出数学成就的我国数学工作者，以中青年为主。从 1985 年开始，每年颁发一次。奖金额为人民币 1 万元，由香港亿利达工业发展集团有限公司提供。陈省身数学奖评选委员会主任是吴文俊，委员有王元、谷超豪、程民德、胡国定、冯康、段学复。

数学奥林匹克竞赛

最早举办中学生数学竞赛的是匈牙利。1894 年匈牙利“物理—数学协会”通过了在全国举办中学数学竞赛的决议。从此以后，除了在两次世界大战中和匈牙利事件期间中断过 7 年外，每年 10 月都要举行。匈牙利通过数学竞赛造就了一批数学大师，像费叶尔、哈尔、黎兹等，使得匈牙利成为一个数学上享有声誉的国家，同时也引起欧洲其他国家的兴趣，纷纷仿效。1902 年，罗马尼亚由《数学杂志》组织了竞赛。1934 年前苏联在列宁格勒大学主办了中学数学奥林匹克竞赛，首次把数学竞赛与奥林匹克体育运动联系起来，以后逐年举行。数学竞赛的大范围兴起是本世纪 50 年代，据不完全统计，

那时举办全国性数学竞赛的已有近 20 个国家。我国在 1956 年由老一辈数学家华罗庚等人倡导，举办了首次中学生数学竞赛。各国数学竞赛的兴起为国际中学生数学奥林匹克的诞生准备了条件。

1956 年，在罗马尼亚罗曼教授的积极倡导下，东欧国家正式确定了开展国际数学竞赛的计划。1959 年起有了“国际数学奥林匹克”，简称 IMO。第一届 IMO 于 1959 年 7 月在罗马尼亚古都布拉索拉开帷幕。但前五届的参赛国仅限于东欧几个国家，60 年代末才逐步扩大，发展成真正全球性的中学生数学竞赛。为了更好地协调组织每年的 IMO，1981 年 4 月成立了国际数学教育委员会的 IMO 分委员会，负责组织每年的活动。自此，ＩＭＯ的传统一直没有中断，并逐步规范化。

我国自 1 985 年参加国际数学奥林匹克竞赛至今，9 年中参赛 50 人次，

得奖 40 人次，其中获金牌 32 个，银牌 12 个，铜牌 4 个，取得了举世公认的成绩。

在中学生数学竞赛的影响下，小学数学竞赛也逐步兴起。1986 年 10 月， “华罗庚金杯”数学邀请赛诞生；1991 年 4 月，“小学生数学奥林匹克”赛正式开始。

“华杯”赛于 1986、1988、1991、1993 年已举办过四届，竞赛要经过初赛、复赛、决赛和口试四个阶段。初赛试题通过电视播放，每届都有 200 多

万少年参加。在各省组织初赛、复赛的基础上，选出 3 人（初中 1 人、小学

2 人）参加决赛，这四届分别在北京、深圳、长春和成都市举行。

“小学生数学奥林匹克”赛自 1991 年开始，至 1994 年已举办了四届， 赛程分初赛和决赛。初赛分 A、B、C（C 卷后来又叫民族卷）三种不同程度的试卷，由各地根据考生的水平自由选定一种，于每年 3 月下旬第一个星期天举行。决赛统一试卷，并于每年 4 月中旬第二个星期天举行。1993 年暑假在山西太原举办了第一次全国小学数学奥林匹克总决赛。

菲尔兹奖——数学界最高奖

19 世纪末，随着数学研究工作的深入，数学上的国际交流越来越广泛， 人们迫切需要举行世界性的数学家集会。1879 年第一届国际数学家会议在瑞士的苏黎士举行，3 年后在巴

黎召开了第二届。自 1900 年开始，国际数学家会议（简称 ICM）每 4

年召开一次，除了在两次世界大战期间中断以外，至今已举行了 19 次。在

1950 年的会议上，成立了国际数学家的正式组织“国际数学家联盟”，简称IMU。IMU 的主要任务是：①促进数学界的国际交流；②组织召开 ICM 以及各分支、各级别的国际性专门会议；③评审及颁发菲尔兹（feiles）奖。

每届 ICM 大会的第一项议程就是宣布菲尔兹奖获奖者的名单，然后授予获奖者一枚金质奖章和 1500 美元的奖金，最后由一些权威数学家介绍得奖者的业绩。这是数学家可望得到的最高奖励。

什么是菲尔兹奖？这要从诺贝尔奖说起。诺贝尔设立了物理学、化学、生物学、医学等科学奖金，但没有数学奖。这个遗憾后来由加拿大数学家菲尔兹弥补了。菲尔兹 1863 年生于加拿大渥太华，在多伦多上大学，而后在美国的约翰·霍普金斯大学得到博士学位。他于 1892～1902 年游学欧洲，以后重回多伦多大学执教。他在学术上的贡献不如作为一个科研组织者的贡献更大。1924 年菲尔兹成功地在多伦多举办了 ICM。正是在这次大会上，菲尔兹提出把大会结余的经费用来设立国际数学奖。1932 年苏黎世大会前夕，菲尔兹去世了。去世前，他立下遗嘱并留下一大笔钱作为奖金的一部分。为了纪念菲尔兹，这次大会决定设立数学界最高奖——菲尔兹奖。1936 年在挪威的奥斯陆举行的 ICM 大会上，正式开始授予菲尔兹奖。迄今有 27 人获奖。

中国有一位菲尔兹奖获得者：邱成桐，他生于广东汕头，受教育于香港， 成长于美国，他的导师是中国血统的数学家陈省身。邱成桐 22 岁获博士学位，28 岁升为正教授，1982 年获奖时年仅 33 岁。

设立菲尔兹奖有一条不成文的规定：获奖者不能超过 40 岁。27 名获奖者在获奖时的年龄平均为 34 岁。这说明，数学是年轻人的事业，青少年朋友们，努力啊！